时间复杂度与空间复杂度-o(1)、o(n)、o(logn)、o(nlogn)、斐波那契

从广义上讲:数据结构就是指一组数据的存储结构。算法就是操作数据的一组方法。数据结构和算法是相辅相成的。他们解决的是如何更省、更快地存储和处理数据的问题，因此，我们就需要一个考量效率和资源消耗的方法，这就是复杂度分析方法。复杂度分析又分为：时间复杂度和空间复杂度。

一、时间复杂度

1、时间复杂度表示法

大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

T(n) 表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

2、时间复杂度分析：

1）只关注循环执行次数最多的一段代码
2）加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。
时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
3）乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积 Eg: 嵌套循环。
（时间复杂度和空间复杂度不需要考虑系数，它是关于n的函数，用来描述数量级；当然个别情况时，不可以忽略，如比较几个排序算法好坏时，此处不多赘述。）

3、几种常见时间复杂度

时间复杂度	描述
O(1)	常数复杂度
O(log n)	对数复杂度
O(n)	线性时间复杂度 for
O(n²)	平方 for for
O(n³)	立方 for for for
O(kⁿ)	指数
O(n!)	阶层

1）Ο(1)

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2）O(logn)

i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}

我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x=n 求解 x。x=log2ⁿ，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2ⁿ)。

i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}

这段代码的时间复杂度为 O(log3ⁿ)。
log3ⁿ =log3² * log2ⁿ，log3² 是一个常量。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。典型应用二分查找n个数中找到指定值，复杂度 O(logn)，一维有序矩阵的二分查找 O(logn)。

3）O(nlogn)

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)，所有排序算法最优的就是O(nlogn)。

4）O(n)

for (; i < n; ++i) {
}

典型应用，单层for循环是O(n)，二叉树遍历 O(n) ，二维有序矩阵的二分查找 O(n) ，深度优先遍历(DFS)和广度优先遍历(BFS)是O(n) 。如果for循环并列，相当于o(2n)不关心系数，还是o(n)。

5）O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

6）O(n²)、O(n³)

典型的嵌套for循环，冒泡排序都是O(n²)，三层for循环O(n³)。

7）O(kⁿ)

指数级。k为常数可以是2ⁿ，3ⁿ，4ⁿ……。
典型的应用斐波那契数列(递归函数)。

斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……它后面的一个数是前两个数之和。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。
即：
int fib (int n){
if(n<2) return n;
return fib(n-1)+fib(n-2);
}

递归的时间复杂度分析：可以假设n为一个合适的比较小的值，画递归树进行分析。

总结点数=斐波那契执行次数。eg:fib(5)总结点数等于前三层总结点数加上最底层2个节点数，fib(5)=2³-1+2=9。
二叉树的层数（高度）是 n - 1，所以递归树总结点数等于高度-1层（也就是n-2层）所有节点数加上最底层2个节点。
即fib(n)=2^(n-2)-1+2=2^(n-2)+1，所以T(n)=O(fib(n))=O(2ⁿ).。

【补充】主定理，用于解决如何计算所有递归函数的时间复杂度：主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。

分治法的精髓：

分–将问题分解为规模更小的子问题；
治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

8）O(n!)

典型应用求有N个元素的全排列的算法。

4、时间复杂度曲线区别分析

Eg:计算1+2+3+…+n;
方法一：从1到n循环累加；
y=0;
for (int i=1; i < n; ++i) {
y+=i;
}
方法二：用公式 n(n+1)/2

方法一时间复杂度O(n) 方法二时间复杂度O(1)，相同结果代码不同导致时间复杂度差距很大，从曲线图中能看出，尤其当n越大，影响越明显。（所以平时开发代码要优化）。

二、空间复杂度

1、空间复杂度概念

渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。也是O表示法。

2、常见的空间复杂度

我们常见的空间复杂度O(1)、O(n)、O(n² )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

一维数组空间复杂度 O(n)。
二维数组展开n*n 空间复杂度即O(n²）。

3、空间复杂度分析

空间复杂度的分析：数组的长度，递归的深度。

Eg1:
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

Eg2:经典的爬楼梯问题：
输入台阶级数，求一共多少走法，每次可以爬一个台阶，也可以爬两个。
思路：n级台阶的走法=先走一级后，n-1级台阶走法+先走二级后，n-2级台阶走法。即f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
方法一：递归写法

时间复杂度O(2ⁿ），树形递归的大小为2ⁿ。
空间复杂度为O(n)，树深度最大n。
方法二：用数组中间转换

时间复杂度O(n），单循环到n。
空间复杂度为O(n)，dp数组用了n的空间。
方法三：变量中转

时间复杂度O(n），单循环到n，需要计算第n个斐波那契数。
空间复杂度为O(1)，使用常量级的空间。