[第1节]时间、空间复杂度，斐波那契、爬楼梯

我要学习下去 ~~

数据结构与算法我已经开始学习好几次了，总是从入门到放弃……

“（博客）请再一次做我的棋子，这一次，我一定会赢~”

死磕碎碎念：

1.知识点逐个学习，完成单点熟练，再搭建整个数据结构与算法的知识网络图，然后自己绘制脑图固化知识。

2.学习三分靠看，七分靠练。所以要多搭配对应的leetcode习题进行练习，练习时不要死磕，一道题，五分钟内没有思路，直接看题解，记忆别人优秀的代码化为己用，君子善假于物。

3.对于基本的算法模板，必须背诵默写，达到“脱手而出”的地步。

4.学习任何新的知识，都需要进行“刻意练习”，才能达到熟练的地步。

背诵代码

算法模板和leetcode代码一般都很简短，10~35行，结合康奈尔笔记，和手写代码的特点，用下面这个笔记模板，装订线设计在左侧，方便订书机装订，不时拿出观摩，望能成仙~

链接: https://pan.baidu.com/s/1BDuhyvMahWNI0malB4BvLQ 提取码: z2m8

数据结构与算法知识点总览

leetcode刷题步骤

花五分钟读题思考，没思路直接看题解，比较各种解法优劣。背诵默写好解法；
看完解法后马上自己写，在leetcode上提交，修改直到通过。多种解法都要会，体会各种解法、注意优化，比较执行时间；
24小时后，再次练习做过的题，温故而知新；
一周后，再次练习相同的题目；
面试前一周恢复性训练。

时间复杂度的分析

常见的7种复杂度:

O(1): 常数时间复杂度O(log n): 对数时间复杂度O(n): 线性时间复杂度O(n^2): 平方时间复杂度O(n^3): 立方时间复杂度O(2^n): 指数时间复杂度O(n!): 阶乘时间复杂度

时间复杂度的计算：

一般方法：时间复杂度的本质是执行次数，最终这个次数用含有n的表达式表示出来，将这个表达式，省略n前的系数、省略常数、保留n的最高次，即为时间复杂度。

递归情况下的时间复杂度分析：

例：斐波那契数列求第N项值

int fb(int n){if (n < 2)  return n;return fb(n - 1) + fb(n - 2);
}

以计算第6项为例，展开其调用发现，每一层都是2的n次方个：

时间复杂度为O(2^n), 是很高的时间复杂度，性能极差。看上图可以发现在计算过程中，有大量重复计算，后续在递归的那篇文章，我会给出时间复杂度更低的计算方法，这里只做个引例。

关于递归方程的时间复杂度计算，有个叫做Master Theorem的定理，或者看中文版，可以根据公式直接计算。感兴趣可以研究下，权当拓展。

重要的只有下面这四种：

空间复杂度分析

空间复杂度，就是变量与所占空间的关系

一维数组长度即为空间复杂度O(n)，二维数组为O(n^2)
递归空间复杂度的分析

leetcode：72.爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是一个正整数。示例 1：输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶
示例 2：输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

我第一次做这道题时，是懵的，乍一看很简单，可是仔细一想，掰手头都算不清。这是因为没有掌握解题的方法，大部分题，都是找重复逻辑点，这里用到了动态规划的方法（当然也有其他解法），后续说到动态规划时再详细说方法，这里先分析空间复杂度。

解决该题的关键在于写出递推方程：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

看这个式子是不是眼熟，是的，就在这篇文章的前面一点，斐波那契求第N项值的递推方程也是这个。

于是可以写出第一个版本的解法，由于申请了一个大小为（n+1）的数组，所以空间复杂度为O(n)。

//C++
class Solution {public:int climbStairs(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
};

仔细观察发现，其实我们不需要含有n个元素的那么大的一个数组空间，因为f(n)的值，只依赖两前两项的值，只需设置变量保存这两个值即可，空间复杂度直接从O(n)优化到O(1)。

//C++
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {int first , second , third = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {first = second; second = third; third = first + second;}return third;}
};