【数据结构】递归斐波那契数列的时间复杂度、空间复杂度

递归斐波那契数列的时间复杂度相对于循环等函数而言并不容易看出来，下面通过斐波那契数列的程序进行图解：

long long Fib(size_t N)
{if (N < 3)return 1;return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
int main()
{printf("%lld\n", Fib(30));return 0;
}

下图为图解递归的斐波那契数列。

20+21+22+23+...+2N−2=2N−1−1;2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{N-2} = 2^{N-1}-1; 20+21+22+23+...+2N−2=2N−1−1;
由此可知，用递归函数编写斐波那契数列，每次调用的次数总结就是等比数列（上图红色字体），总的调用次数结果是2^(N-1)-1，估算后斐波那契数列的时间复杂度相当于2^N。

上图所示，通过分析输入斐波那契数N的时间复杂度，递归斐波那契数列具有理论价值，但没有工程应用价值；因而，不建议使用递归的方式编写较大的斐波那契数列。

递归的斐波那契数列的空间复杂度是O(N)。Fib(N-1)一路沿Fib(2)返回后消毁栈帧，调用Fib(N-2)并建立栈帧后，实际上 Fib(N-2)与Fib(N-1)用的是同一块栈帧空间。这是由于时间是累积的，而空间是可以重复利用的。

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