Frobenius自同构

前言：仅个人小记。对于Frobenius自同构的讨论，我们会理解任意有限域中的任意元素必然存在唯一的特征次根。即有限域 F，特征为 p，则任意 F 中的元素必然存在唯一的 p 次根。同样也告诉我们，对整个有限域 F 做p次幂，得到的结果仍然是 F。由Frobenius自同构引出的更重要的是不可约多项式的共轭根的形式关系，这里对此不做讨论。

前要知识：

aj≡imodnaj\equiv i\ mod\ naj≡i mod n，当a⊥na\perp na⊥n时,给定 i , a , n,则 j 有唯一解。

Frobenius 自同构

引入域FFF，域FFF的特征为char(F)=pchar(F)=pchar(F)=p，p为素数。域的元素个数必然为p的幂次方，记为 pnp^npn。相应的域中乘法群的阶为pn−1p^n-1pn−1。

引入一个映射σ\sigmaσ，定义为

σ:F→Fα→αp,α∈F\sigma:F\rightarrow F\\\alpha\rightarrow \alpha^p, \alpha\in Fσ:F→Fα→αp,α∈F称映射σ\sigmaσ为Frobenius自同构。
下面证明σ\sigmaσ是一个自同构映射。证明一个映射是同构的，即先证明其为同态，然后证明其为双射。
证明同态：

σ(α+β)=(α+β)p=αp+βp=σ(α)+σ(β)\sigma(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)^p=\alpha^p+\beta^p=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)σ(α+β)=(α+β)p=αp+βp=σ(α)+σ(β)所以满足加法同态。

σ(αβ)=(αβ)p=αpβp=σ(α)σ(β)\sigma(\alpha\beta)=(\alpha\beta)^p=\alpha^p\beta^p=\sigma(\alpha)\sigma(\beta)σ(αβ)=(αβ)p=αpβp=σ(α)σ(β)所以满足乘法同态。下面再证明该映射是一个双射：
∀β∈F\forall \beta\in F∀β∈F，如果β=xp\beta=x^pβ=xp有解，且解唯一，则证得σ\sigmaσ为双射。
记域F的生成元为 g。则

β=xp\beta=x^pβ=xp写作

gi=gjpg^i=g^{jp}gi=gjp进而

i≡jpmod(pn−1)i\equiv jp\ mod (p^n-1)i≡jp mod(pn−1)因为 p 为素数，所以必然有p⊥(pn−1)p\perp(p^n-1)p⊥(pn−1)进而 j 必然有唯一解。进而σ\sigmaσ为双射。

综上，σ\sigmaσ是一个同构映射，又因为映射两侧为同一个集合F，故而成这个同构映射为自同构。

基于Frobenius自同构讨论映射形成的循环群

引入一个集合G={σ,σ2,...,σn}G=\{\sigma,\sigma^2,...,\sigma^n\}G={σ,σ2,...,σn}。其中元素σ\sigmaσ是一个域Fpn上的F_{p^n}上的Fpn上的Frobenius自同构。
显然

σ(α)=αp,σ2(α)=αp2,...,σn(α)=αqn,α∈Fpn\sigma(\alpha)=\alpha^p,\sigma^2(\alpha)=\alpha^{p^2},...,\sigma^{n}(\alpha)=\alpha^{q^n},\alpha\in F_{p^n}σ(α)=αp,σ2(α)=αp2,...,σn(α)=αqn,α∈Fpn因为α∈Fpn\alpha\in F_{p^n}α∈Fpn所以显然有

αpn=αpn−1α=α\alpha^{p^n}=\alpha^{p^n-1}\alpha=\alphaαpn=αpn−1α=α进而σn(α)=αpn=α\sigma^n(\alpha)=\alpha^{p^n}=\alphaσn(α)=αpn=α即σn是一个恒同映射\sigma^n是一个恒同映射σn是一个恒同映射

下面证明G是循环群，σ\sigmaσ是群G的生成元,G的群阶为∣G∣=n|G|=n∣G∣=n。
显然，因为σn\sigma^nσn是恒同映射，所以

∀σi∈G,σn(σi(α))=σi(α)=σi(σn(α))\forall \sigma^i\in G,\sigma^n(\sigma^i(\alpha))=\sigma^i(\alpha)=\sigma^i(\sigma^n(\alpha))∀σi∈G,σn(σi(α))=σi(α)=σi(σn(α))所以σn\sigma^nσn是幺元。
证明封闭性，∀σi,σj∈G,σi(σj(α))=σi+j(α)=σknσ(i+j)(α)=σ(i+j)modn(α)∈G\forall \sigma^i,\sigma^j\in G,\sigma^i(\sigma^j(\alpha))=\sigma^{i+j}(\alpha)=\sigma^{kn}\sigma^{(i+j)}(\alpha)=\sigma^{(i+j)mod\ n}(\alpha)\in G∀σi,σj∈G,σi(σj(α))=σi+j(α)=σknσ(i+j)(α)=σ(i+j)mod n(α)∈G故而满足封闭性。
结合律显然成立。
证明可逆，显然

∀σi∈G,σn−i∈G,σiσn−i=σn=幺元\forall \sigma^i\in G,\sigma^{n-i}\in G,\sigma^i\sigma^{n-i}=\sigma^n=幺元∀σi∈G,σn−i∈G,σiσn−i=σn=幺元
至此，已经证明出G是一个群。下面证明G是一个由σ\sigmaσ生成的循环群。
显然，只需要证明σi≠1,0≤i<n\sigma^i\neq1,0\leq i<nσi=1,0≤i<n不是幺元即可，采用反正法证明。假设σi,0≤i<n\sigma^i,0\leq i<nσi,0≤i<n是幺元。即

σi(α)=α,0≤i<n\sigma^i(\alpha)=\alpha,0\leq i<nσi(α)=α,0≤i<n则

αpi=α,i<n\alpha^{p^i}=\alpha,i<nαpi=α,i<n进而αpi−1=1,i<n\alpha^{p^i-1}=1,i<nαpi−1=1,i<n因为α\alphaα具有任意性，即

∀α,αpi−1=1,i<n\forall \alpha,\alpha^{p^i-1}=1,i<n∀α,αpi−1=1,i<n故而FpnF_{p^n}Fpn中的任意元素α\alphaα的阶o(α)o(\alpha)o(α)满足

o(α)≤pi−1o(\alpha)\leq p^{i-1}o(α)≤pi−1而FpnF_{p^n}Fpn是域，所以必然有元素的阶为pn−1>pi−1p^{n}-1>p^i-1pn−1>pi−1进而矛盾，故而假设不成立，进而 G 是一个 n 阶循环群。

小结

显然群G很有特殊意义，即群G和域FpnF_{p^n}Fpn紧密关联在一起。这是一个很精彩的群。