微积分——傅里叶级数
傅里叶级数
文章目录
- 傅里叶级数
- 一.三角级数及三角函数系的正交性
- 1.三角级数
- 2.三角函数系的正交性
- ①任何两个不同的三角函数的乘积在一个周期长的区间[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上的积分等于0
- ②任何一个三角函数的平方在[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上的积分不等于0
- 3.傅里叶级数
- 二.周期为2π\piπ的函数展成傅里叶级数
- 1.狄利克雷条件(收敛的充分条件)
- 2.正弦级数和余弦级数
- 四.周期为2lll的函数展成傅里叶级数
- 1.转化为2π2\pi2π
- 2.正弦级数和余弦级数
- 五.有限区间[0,l][0,l][0,l]上的函数的傅里叶展开
一.三角级数及三角函数系的正交性
1.三角级数
数学上，用周期函数来描述各种周而复始的现象，周期运动，最基本的周期函数是正弦函数（也叫谐函数）：
Asin(ωx+φ)Asin(\omega x+\varphi) Asin(ωx+φ)
其周期为T=2πωT=\dfrac{2\pi}{\omega}T=ω2π.
谐函数由振幅AAA,(角)频率ω\omegaω,初相位φ\varphiφ 三个量完全确定
而实际上往往遇到较复杂的周期现象,函数为非正弦周期函数，这些周期运动是由不同频率的谐振动,简谐波叠加而成的，那么在数学上就把一个周期函数分解为不同频率的正弦函数和的形式，即将周期T的函数f(x)表示为如下形式:
A0+∑n=1∞Ansin(nωx+φn),ω=2πT(1)A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_nsin(n\omega x+\varphi_n),\qquad \omega=\dfrac{2\pi}{T}\qquad\qquad(1) A0+n=1∑∞Ansin(nωx+φn),ω=T2π(1)
其中A0,An,φn(n=1,2,...)A_0,A_n,\varphi_n(n=1,2,...)A0,An,φn(n=1,2,...)均为常数,利用三角公式
sin(nωx+φn)=sinφncosnωx+cosφnsinnωxsin(n\omega x+\varphi_n)=sin\varphi_ncosn\omega x+cos\varphi_nsin n\omega x sin(nωx+φn)=sinφncosnωx+cosφnsinnωx
并令a0=2A0,an=Ansinφn,bn=Ancosφn(n=1,2,...)a_0=2A_0,a_n=A_nsin\varphi_n,b_n=A_ncos\varphi_n(n=1,2,...)a0=2A0,an=Ansinφn,bn=Ancosφn(n=1,2,...),则(1)式可变为
a02+∑n=1∞(ancosnωx+bnsinnωx)(2)\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosn\omega x+b_nsinn\omega x)\qquad\qquad(2) 2a0+n=1∑∞(ancosnωx+bnsinnωx)(2)
(2)式表示的函数项级数,称为三角级数
2.三角函数系的正交性
那么函数f(x)满足什么条件才能展为级数（2）呢？
若能展成三角级数，那么an,bna_n,b_nan,bn又如何确定呢?
首先要理解三角函数的正交性
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...{1,\cos x,\sin x ,\cos 2x,\sin 2x,...,\cos nx,\sin nx,...}1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...具有如下性质：
①任何两个不同的三角函数的乘积在一个周期长的区间[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上的积分等于0
②任何一个三角函数的平方在[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上的积分不等于0
即:
∫−ππ1dx=2π,\int^{\pi}_{-\pi}1dx=2\pi,∫−ππ1dx=2π,
∫−ππsinnxdx=∫−ππcosnxdx=0,\int^{\pi}_{-\pi}\sin nxdx=\int^{\pi}_{-\pi}\cos nxdx=0,∫−ππsinnxdx=∫−ππcosnxdx=0,
∫−ππcosnxcosmxdx={0,当m≠n时，π,当m=n时，\int^{\pi}_{-\pi}\cos nx\cos mxdx=\left\{\begin{matrix}0,\qquad当m\ne n时，\\ \pi,\qquad 当m=n时，\end{matrix}\right.∫−ππcosnxcosmxdx={0,当m=n时，π,当m=n时，
∫−ππsinnxsinmxdx={0,当m≠n时，π,当m=n时，\int^{\pi}_{-\pi}\sin nx\sin mxdx=\left\{\begin{matrix}0,\qquad当m\ne n时，\\ \pi,\qquad 当m=n时，\end{matrix}\right.∫−ππsinnxsinmxdx={0,当m=n时，π,当m=n时，
∫−ππcosnxsinmxdx=0\int^{\pi}_{-\pi}\cos nx \sin mxdx=0∫−ππcosnxsinmxdx=0
3.傅里叶级数
若以2π2\pi2π为周期的函数f(x)f(x)f(x)在区间[−π，π][-\pi，\pi][−π，π]上，能够展开为可逐项积分的三角级数
f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx),f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx), f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx),
则其系数公式为：
{a0=1π∫−ππf(x)dx，an=1π∫−ππf(x)cosnxdx，bn=1π∫−ππf(x)sinnxdx(n=1,2,...)\left\{\begin{array}{lr}a_0=\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)dx，\\ a_n=\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos nxdx，\\b_n=\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin nxdx\qquad(n=1,2,...)\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a0=π1∫−ππf(x)dx，an=π1∫−ππf(x)cosnxdx，bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx(n=1,2,...)
只要f(x)f(x)f(x)在区间[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上可积，无论f(x)f(x)f(x)是否可以展为可逐项积分的三角级数，都可以算出a0,an,bn(n=1,2,...),a_0,a_n,b_n(n=1,2,...),a0,an,bn(n=1,2,...),称之为函数f(x)f(x)f(x)的傅里叶系数，由这些系数做成的三角级数
a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)，\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)， 2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)，
称为函数f(x)f(x)f(x)（诱导出）的傅里叶系数，记为
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx),f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx), f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx),
此处∼\sim∼的含义为上式只是形式上的傅里叶级数，因为f(x)的傅里叶级数不一定处处收敛，即使收敛也不一定收敛到f(x)上，所以不能把”∼\sim∼“随意换成”=“
所以，满足什么条件的函数可以展开为傅里叶级数？(哪些函数的傅里叶级数收敛到它自己？)
二.周期为2π\piπ的函数展成傅里叶级数
1.狄利克雷条件(收敛的充分条件)
若以2π2\pi2π为周期的函数f(x)f(x)f(x)在区间[−π，π][-\pi，\pi][−π，π]上满足狄利克雷条件：
1°.除有限个第一类间断点外处处连续
2°.分段单调，且单调区间个数有限（or此说法：只有有限个极值点）
则f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数处处收敛，且其和函数
S(x)={f(x)，x为连续点f(x−0)+f(x+0)2x为第一类间断点，f(π−0)+f(−π+0)2当x=±π时S(x)=\left\{\begin{array}{lr}f(x)，\qquad x为连续点\\ \dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\qquad x为第一类间断点，\\\dfrac{f(\pi-0)+f(-\pi+0)}{2}\qquad 当x=\pm \pi时\end{array}\right. S(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧f(x)，x为连续点2f(x−0)+f(x+0)x为第一类间断点，2f(π−0)+f(−π+0)当x=±π时
此定理也叫收敛定理，展开定理
由此可知，满足狄利克雷条件的函数的傅里叶级数，在f(x)的连续点处，都收敛到f(x)；在间断点处，收敛到左右极限的算数平均值，在端点x=±πx=\pm \pix=±π处，收敛到左端点的右极限和右端点的左极限的算术平均值，把函数展开为傅里叶级数的条件远比展开为幂级数的条件低
2.正弦级数和余弦级数
由奇函数和偶函数的积分性质，易得
1.当f(x)f(x)f(x)是以2π2\pi2π为周期的奇函数时，它的傅里叶系数
{an=0，n=0,1,2,⋯bn=2π∫0πf(x)sinnxdxn=1,2,⋯\left\{\begin{array}{lr}a_n=0，& n=0,1,2,\cdots\\ b_n=\dfrac{2}{\pi}\int^{\pi}_0f(x)\sin nxdx& n=1,2,\cdots\end{array}\right. {an=0，bn=π2∫0πf(x)sinnxdxn=0,1,2,⋯n=1,2,⋯
此时，f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数中只含有正弦项，即
f(x)∼∑n=1∞bnsinnxf(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx f(x)∼n=1∑∞bnsinnx
称之为正弦级数
2.当f(x)f(x)f(x)是以2π2\pi2π为周期的偶函数时，它的傅里叶系数
{a0=2π∫0πf(x)dx，an=2π∫0πf(x)cosnxdxn=1,2,⋯bn=0,n=1,2,⋯.\left\{\begin{array}{lr}a_0=\dfrac{2}{\pi}\int^{\pi}_0f(x)dx，& \\ a_n=\dfrac{2}{\pi}\int^{\pi}_0f(x)\cos nxdx& n=1,2,\cdots\\ b_n=0,&n=1,2,\cdots.\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a0=π2∫0πf(x)dx，an=π2∫0πf(x)cosnxdxbn=0,n=1,2,⋯n=1,2,⋯.
此时，f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数中只含有余弦项和常数项，即
f(x)∼a02+∑n=1∞ancosnxf(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx f(x)∼2a0+n=1∑∞ancosnx
称之为余弦级数
四.周期为2lll的函数展成傅里叶级数
1.转化为2π2\pi2π
设f(x)f(x)f(x)是以2l(l>0)2l(l>0)2l(l>0)为周期的周期函数，作变换，令
t=πlxt=\dfrac{\pi}{l}x t=lπx
则当x在区间[−l,l][-l,l][−l,l]上变化时，t就在区间[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上变化，函数f(x)f(x)f(x)变为以2π2\pi2π为周期的ttt的函数，记：
f(x)=f(lπt)=g(t)f(x)=f(\dfrac{l}{\pi}t)=g(t) f(x)=f(πlt)=g(t)
只要f(x)f(x)f(x)在区间[−l,l][-l,l][−l,l]上可积，g(t)g(t)g(t)就区间[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上可积，于是g(t)g(t)g(t)有傅里叶级数
g(t)∼a02+∑n=1∞(ancosnt+bnsinnt),g(t)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nt+b_n\sin nt), g(t)∼2a0+n=1∑∞(ancosnt+bnsinnt),
其傅里叶系数为：
{a0=1π∫−ππg(t)dt，an=1π∫−ππg(t)cosntdt，bn=1π∫−ππg(t)sinntdt,(n=1,2,...)\left\{\begin{array}{lr}a_0=\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}g(t)dt，\\ a_n=\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}g(t)\cos ntdt，\\b_n=\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}g(t)\sin ntdt,\qquad(n=1,2,...)\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a0=π1∫−ππg(t)dt，an=π1∫−ππg(t)cosntdt，bn=π1∫−ππg(t)sinntdt,(n=1,2,...)
将t=πlxt=\dfrac{\pi}{l}xt=lπx代入，就得到以2l2l2l为周期的函数f(x)f(x)f(x)的傅里叶系数
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl),f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \dfrac{n\pi x}{l}+b_n\sin \dfrac{n\pi x}{l}), f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx),
和傅里叶系数
{a0=1l∫−llf(x)dx，an=1l∫−llf(x)cosnπxldx，bn=1l∫−llf(x)sinnπxldx,(n=1,2,...)\left\{\begin{array}{lr}a_0=\dfrac{1}{l}\int^{l}_{-l}f(x)dx，\\ a_n=\dfrac{1}{l}\int^{l}_{-l}f(x)\cos \dfrac{n\pi x}{l} dx，\\b_n=\dfrac{1}{l}\int^{l}_{-l}f(x)\sin \dfrac{n\pi x}{l}dx,\qquad(n=1,2,...)\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a0=l1∫−llf(x)dx，an=l1∫−llf(x)coslnπxdx，bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,(n=1,2,...)
当f(x)f(x)f(x)在区间[−l,l][-l,l][−l,l]上满足狄利克雷条件时，f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数在f(x)f(x)f(x)的连续点收敛于f(x)f(x)f(x),在间断点x0x_0x0处收敛于f(x0−)+f(x0+)2\dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}2f(x0−)+f(x0+),在±l\pm l±l处收敛于f(−l+)+f(l−)2\dfrac{f(-l^+)+f(l^-)}{2}2f(−l+)+f(l−)
2.正弦级数和余弦级数
如果f(x)f(x)f(x)是以2l2l2l为周期的奇函数，则其傅里叶级数是正弦级数
f(x)∼∑n=1∞bnsinnπxlf(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\dfrac{n\pi x}{l} f(x)∼n=1∑∞bnsinlnπx
系数
bn=2l∫0lf(x)sinnπxldx,n=1,2,⋯b_n=\dfrac{2}{l}\int^l_0f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}dx,\quad n=1,2,\cdots bn=l2∫0lf(x)sinlnπxdx,n=1,2,⋯
如果f(x)f(x)f(x)是以2l2l2l为周期的偶函数，则其傅里叶级数是余弦级数
f(x)∼a02+∑n=1∞ancosnπxlf(x)\sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\dfrac{n\pi x}{l} f(x)∼2a0+n=1∑∞ancoslnπx
系数
{a0=2l∫0lf(x)dx，an=2l∫0lf(x)cosnπxldxn=1,2,⋯bn=0,n=1,2,⋯.\left\{\begin{array}{lr}a_0=\dfrac{2}{l}\int^{l}_0f(x)dx，& \\ a_n=\dfrac{2}{l}\int^{l}_0f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{l}dx& n=1,2,\cdots\\ b_n=0,&n=1,2,\cdots.\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a0=l2∫0lf(x)dx，an=l2∫0lf(x)coslnπxdxbn=0,n=1,2,⋯n=1,2,⋯.
五.有限区间[0,l][0,l][0,l]上的函数的傅里叶展开
f(x)f(x)f(x)定义在区间[0,l][0,l][0,l]上，并满足狄利克雷条件时，可以展开为正弦级数，或余弦级数，则只需要在区间[−l,0][-l,0][−l,0]上补充函数定义时，使延拓后的函数成为奇函数或偶函数即可
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