微分方程

n阶微分方程

含有ay(n),a≠0ay^{(n)},a\ne 0ay(n),a​=0的式子叫做n阶微分方程.

一阶微分方程求法

可分离变量一阶微分方程

dydx=f(x)g(y)dyg(y)=f(x)dx{dy\over dx } = f(x)g(y)\\ {dy\over g(y)} = f(x)dx dxdy​=f(x)g(y)g(y)dy​=f(x)dx

y/x形式齐次方程

dydx=f(yx)令u=yx,y=ux⇒dydx=xdudx+uu+xdudx=f(u)⇒duf(u)−u=dxx{dy\over dx} = f({y\over x})\\ 令 u = {y\over x},y = ux\Rightarrow {dy\over dx} = x{du\over dx} + u\\ u + x{du\over dx} = f(u) \Rightarrow {du\over f(u)-u} = {dx\over x} dxdy​=f(xy​)令u=xy​,y=ux⇒dxdy​=xdxdu​+uu+xdxdu​=f(u)⇒f(u)−udu​=xdx​

一阶齐次线性微分方程

dydx+P(x)y=0⇒dydx=−P(x)ydyy=−P(x)dx⇒ln⁡∣y∣=−∫P(x)dx+Cy=Ce−∫P(x)dx{dy\over dx} + P(x)y = 0 \Rightarrow {dy\over dx} = -P(x)y\\ {dy\over y} = -P(x)dx \Rightarrow \ln|y| = -\int P(x)dx + C\\ y = Ce^{-\int P(x)dx} dxdy​+P(x)y=0⇒dxdy​=−P(x)yydy​=−P(x)dx⇒ln∣y∣=−∫P(x)dx+Cy=Ce−∫P(x)dx

一阶非齐次线性微分方程

dydx+P(x)y=Q(x)⇒y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx注:这个y的形式就是通解+特解的形式,前面的为齐次方程通解,后面是个特解{dy\over dx} + P(x)y = Q(x)\Rightarrow y = e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]\\ y = Ce^{-\int P(x)dx} + e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\\ 注 : 这个y的形式就是通解 + 特解的形式,前面的为齐次方程通解,后面是个特解 dxdy​+P(x)y=Q(x)⇒y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx注:这个y的形式就是通解+特解的形式,前面的为齐次方程通解,后面是个特解

二阶微分方程

最常规的二阶

y′′=P(x)⇒y′=∫P(x)dx+C⇒y=∬P(x)dxdx+C1x+C2y'' = P(x) \Rightarrow y' = \int P(x)dx + C\Rightarrow y = \iint P(x)dxdx + C_1x + C_2 y′′=P(x)⇒y′=∫P(x)dx+C⇒y=∬P(x)dxdx+C1​x+C2​

没有y的二阶

y′′=f(y′,x),令p=y′,dy′dx=dpdxdpdx=f(p,x)⇒p=P(x)+C1⇒y=Q(x)+C1x+C2y'' = f(y',x),令p=y',{dy'\over dx} = {dp\over dx}\\ {dp\over dx} = f(p,x) \Rightarrow p = P(x)+C_1\Rightarrow y = Q(x) + C_1x+C_2 y′′=f(y′,x),令p=y′,dxdy′​=dxdp​dxdp​=f(p,x)⇒p=P(x)+C1​⇒y=Q(x)+C1​x+C2​

没有x的二阶

y′′=f(y′,y),令p=y′,dpdx=dpdydydx=pdpdypdpdy=f(p,y),然后带入一阶的情况求解即可.y'' = f(y',y),令p=y',{dp\over dx} = {dp\over dy}{dy\over dx} = p{dp\over dy}\\ p{dp\over dy} = f(p,y),然后带入一阶的情况求解即可. y′′=f(y′,y),令p=y′,dxdp​=dydp​dxdy​=pdydp​pdydp​=f(p,y),然后带入一阶的情况求解即可.

高阶常系数微分方程

先补充一个公式:exi=sin⁡x+icos⁡x,ea+bi=ea(sin⁡b+icos⁡b)先补充一个公式:e^{xi} = \sin x + i\cos x,e^{a+bi} = e^a(\sin b + i\cos b) 先补充一个公式:exi=sinx+icosx,ea+bi=ea(sinb+icosb)

齐次形式

any(n)+an−1y(n−1)+⋯+a0y=0⇒特征方程anrn+an−1rn−1+⋯+a0=0解出很多个r,对于每个是k重根的r,对应的解:{(C1+C2x+⋯+Ckxk)erxr为实数,把所有对应的解都加起来即可.eax{(C1+C2x+⋯+Ckxk)cos⁡(bx)+(D1+D2x+⋯+Dkxk)sin⁡(bx)}r=a+bi,a−bi,把所有解加起来a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0y = 0\\ \Rightarrow_{特征方程}a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_0 = 0\\ 解出很多个r,对于每个是k重根的r,对应的解:\\ \begin{cases} (C_1+C_2x+\cdots+C_kx^k)e^{rx}\\\qquad r为实数,把所有对应的解都加起来即可.\\ e^{ax}\{(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^k)\cos(bx) + (D_1+D_2x+\cdots+D_kx^k)\sin(bx)\}\\ \qquad r=a+bi,a-bi,把所有解加起来 \end{cases} an​y(n)+an−1​y(n−1)+⋯+a0​y=0⇒特征方程​an​rn+an−1​rn−1+⋯+a0​=0解出很多个r,对于每个是k重根的r,对应的解:⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​(C1​+C2​x+⋯+Ck​xk)erxr为实数,把所有对应的解都加起来即可.eax{(C1​+C2​x+⋯+Ck​xk)cos(bx)+(D1​+D2​x+⋯+Dk​xk)sin(bx)}r=a+bi,a−bi,把所有解加起来​

非齐次方程

非齐次方程的解的形式为齐次方程通解+特解.然后来讨论特解的形式
f(y,y′,⋯,y(n))=Pm(x)eax设特解为:y∗=xteaxQm(x)a是对应齐次方程的t重特征根(可以为0),Qm(x)是x的一个待定m次多项式f(y,y',\cdots,y^{(n)}) = P_m(x)e^{ax}\\ 设特解为:\quad y^* = x^te^{ax}Q_m(x)\\ a是对应齐次方程的t重特征根(可以为0),Q_m(x)是x的一个待定m次多项式\\ f(y,y′,⋯,y(n))=Pm​(x)eax设特解为:y∗=xteaxQm​(x)a是对应齐次方程的t重特征根(可以为0),Qm​(x)是x的一个待定m次多项式

f(y,y′,⋯,y(n))=eαx[Pm(x)sin⁡(βx)+Qn(x)cos⁡(βx)]k是α+βi的重数,j=max⁡(m,n),则对应的特解为:xkeαx[Pj′(x)sin⁡(βx)+Qj′(x)cos⁡(βx)]f(y,y',\cdots,y^{(n)}) = e^{\alpha x}[P_m(x)\sin(\beta x) + Q_n(x)\cos(\beta x)]\\ k 是 \alpha + \beta i的重数,j=\max{(m,n)},则对应的特解为:\\ x^ke^{\alpha x}[P'_j(x)\sin(\beta x) + Q'_j(x)\cos(\beta x)] f(y,y′,⋯,y(n))=eαx[Pm​(x)sin(βx)+Qn​(x)cos(βx)]k是α+βi的重数,j=max(m,n),则对应的特解为:xkeαx[Pj′​(x)sin(βx)+Qj′​(x)cos(βx)]

欧拉方程

∑xny(n)=f(x),令x=et,然后转化xny(n)=D(D−1)⋯(D−n+1)y,D=ddt\sum x^ny^{(n)} = f(x),令x=e^t,然后转化x^ny^{(n)} = D(D-1)\cdots(D-n+1)y,D={d\over dt} ∑xny(n)=f(x),令x=et,然后转化xny(n)=D(D−1)⋯(D−n+1)y,D=dtd​

多元函数微分学

多元函数极限,连续,偏导

极限

lim⁡(x−x0)2+(y−y0)2<δ∣f(x,y)−A∣<Δ则lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A\lim_{\sqrt{(x-x0)^2+(y-y_0)^2}<\delta} |f(x,y) - A| < \Delta\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0} f(x,y) = A (x−x0)2+(y−y0​)2​<δlim​∣f(x,y)−A∣<Δ则x→x0​y→y0​lim​f(x,y)=A

连续

lim⁡x→x0,y→y0f(x,y)=f(x0,y0),那么在这个点连续\lim_{x\rightarrow x_0,y\rightarrow y_0} f(x,y) = f(x_0,y_0),那么在这个点连续 x→x0​,y→y0​lim​f(x,y)=f(x0​,y0​),那么在这个点连续

偏导

lim⁡Δy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy=Alim⁡Δx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx=A\lim_{\Delta y \rightarrow 0} {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\over \Delta y} =A\\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\over \Delta x} =A Δy→0lim​Δyf(x,y+Δy)−f(x,y)​=AΔx→0lim​Δxf(x+Δx,y)−f(x,y)​=A

可微

f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=AΔx+BΔy+o(Δ2x+Δ2y)f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{\Delta^2 x+\Delta^2y}) f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=AΔx+BΔy+o(Δ2x+Δ2y​)

它们之间的关系

偏导连续→可微→连续→有极限偏导连续→可微→可偏导偏导连续 \rightarrow 可微 \rightarrow 连续 \rightarrow 有极限\\ 偏导连续 \rightarrow 可微 \rightarrow 可偏导 偏导连续→可微→连续→有极限偏导连续→可微→可偏导

偏导数

计算图法(显式函数)

z=f(x,y,u,v),u=p(x,y),v=q(x,y)∂z∂x=f1′+f3′ux′+f4′vx′∂z∂y=f2′+f3′uy′+f4′vy′z = f(x,y,u,v),u=p(x,y),v=q(x,y)\\ {\partial z\over \partial x} = f'_1 + f'_3 u'_x + f'_4v'_x\\ {\partial z\over \partial y} = f'_2 + f'_3 u'_y + f'_4v'_y z=f(x,y,u,v),u=p(x,y),v=q(x,y)∂x∂z​=f1′​+f3′​ux′​+f4′​vx′​∂y∂z​=f2′​+f3′​uy′​+f4′​vy′​

隐函数

已知{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,z)=0u=p(x,y)v=q(x,y),以下求对x的导数首先求出以下两个式子{F1′+F3′ux′+F4′vx′=0G1′+G3′ux′+G4′vx′=0然后联立两个式子,就能解出对应的导数Fx′,Gx′.已知\begin{cases} F(x,y,u,v) = 0\\ G(x,y,u,z) = 0\\ u = p(x,y)\\ v = q(x,y) \end{cases},以下求对x的导数\\ 首先求出以下两个式子 \begin{cases} F'_1 + F'_3u'_x + F'_4v'_x = 0\\ G'_1 + G'_3u'_x + G'_4v'_x = 0 \end{cases}\\ 然后联立两个式子,就能解出对应的导数F'_x,G'_x. 已知⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,z)=0u=p(x,y)v=q(x,y)​,以下求对x的导数首先求出以下两个式子{F1′​+F3′​ux′​+F4′​vx′​=0G1′​+G3′​ux′​+G4′​vx′​=0​然后联立两个式子,就能解出对应的导数Fx′​,Gx′​.

极值与最值

设我们有个函数F(x,y),导数Fx′,Fy′,Fxy′′,Fyx′′,Fxx′′,Fyy′′函数F(x,y),导数F'_x,F'_y,F''_{xy},F''_{yx},F''_{xx},F''_{yy}函数F(x,y),导数Fx′​,Fy′​,Fxy′′​,Fyx′′​,Fxx′′​,Fyy′′​,然后我们求解下面的极

没有约束条件的极值问题

首先求出

{Fx′(x0,y0)=0Fy′(x0,y0)=0的点(x0,y0)\begin{cases} F'_x(x_0,y_0) = 0\\ F'_y(x_0,y_0) = 0 \end{cases} 的点(x_0,y_0) {Fx′​(x0​,y0​)=0Fy′​(x0​,y0​)=0​的点(x0​,y0​)

如果其对应的

[Fxx′′Fxy′′Fyx′′Fyy′′]=[ABBC]\begin{bmatrix} F''_{xx} & F''_{xy}\\ F''_{yx} & F''_{yy} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B\\ B & C \end{bmatrix} [Fxx′′​Fyx′′​​Fxy′′​Fyy′′​​]=[AB​BC​]

如果正定:A>0,AC−B2>0A > 0,AC-B^2 > 0A>0,AC−B2>0则为极小值,如果负定(−A)>0,(−A)(−C)−(−B)2>0(-A) > 0,(-A)(-C) - (-B)^2 > 0(−A)>0,(−A)(−C)−(−B)2>0则为极大值.

有约束条件的极值

假设约束条件是T(x,y)T(x,y)T(x,y)然后方程是F(x,y)F(x,y)F(x,y),已知的东西都一样.
F(x,y)+λT(x,y)=0这个式子的极值就是了!需要单独判断一下T的边界F(x,y) + \lambda T(x,y) = 0\\这个式子的极值就是了!需要单独判断一下T的边界 F(x,y)+λT(x,y)=0这个式子的极值就是了!需要单独判断一下T的边界
推导原理:
设T(x,y)构成了一个隐函数,那么∂y∂x=−Tx′Ty′Fx′=F1′+F2′×−Tx′Ty′=0⇒F1′F2′=Tx′Ty′⇒F1′Tx′=F2′Ty′Fy′=F2′+F1′×−Ty′Tx′=0⇔⇒F1′F2′=Tx′Ty′设F2′Ty′=−λ⇒{F1′+λTx′=0F2′+λTy′=0T=0⇔F(x,y)+λT(x,y)极值设T(x,y)构成了一个隐函数,那么{\partial y\over \partial x} = -{T'_x \over T'_y}\\ F'_x = F'_1 + F'_2 \times -{T'_x\over T'_y} = 0\Rightarrow {F'_1\over F'_2} = {T'_x\over T'_y}\Rightarrow {F'_1\over T'_x} = {F'_2\over T'_y}\\ F'_y = F'_2 + F'_1 \times -{T'_y\over T'_x} = 0\Leftrightarrow \Rightarrow {F'_1\over F'_2} = {T'_x\over T'_y}\\ 设{F'_2\over T'_y} = -\lambda \Rightarrow \\ \begin{cases} F'_1 + \lambda T'_x = 0\\ F'_2 + \lambda T'_y = 0\\ T = 0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow F(x,y) + \lambda T(x,y) 极值 设T(x,y)构成了一个隐函数,那么∂x∂y​=−Ty′​Tx′​​Fx′​=F1′​+F2′​×−Ty′​Tx′​​=0⇒F2′​F1′​​=Ty′​Tx′​​⇒Tx′​F1′​​=Ty′​F2′​​Fy′​=F2′​+F1′​×−Tx′​Ty′​​=0⇔⇒F2′​F1′​​=Ty′​Tx′​​设Ty′​F2′​​=−λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧​F1′​+λTx′​=0F2′​+λTy′​=0T=0​⇔F(x,y)+λT(x,y)极值

方向导数

方向导数和梯度

方向导数是指向某个具体方向的导数,如果方向为(cos⁡α,cos⁡β)(\cos \alpha,\cos \beta)(cosα,cosβ),那么方向导数就是Fx′cos⁡α+Fy′cos⁡βF'_x\cos \alpha + F'_y \cos \betaFx′​cosα+Fy′​cosβ,原理推导式子为
lim⁡t→0+F(x+tcos⁡α,y+tcos⁡β)−F(x,y)t\lim_{t\rightarrow 0^+}{F(x+t\cos \alpha,y+t\cos \beta) - F(x,y)\over t} t→0+lim​tF(x+tcosα,y+tcosβ)−F(x,y)​
然后有了梯度
∇F=(Fx′,Fy′)\nabla F = (F'_x,F'_y) ∇F=(Fx′​,Fy′​)
其中∣∇F∣|\nabla F|∣∇F∣是方向导数的最大值,此时方向向量与∇F\nabla F∇F同向.方向导数可以写成∇F⋅e,e={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\nabla F \cdot e,e=\{\cos \alpha ,\cos \beta,\cos \gamma\}∇F⋅e,e={cosα,cosβ,cosγ}为方向向量.

切线,法线,切平面,法平面

切线和法平面是对直线来说的,直线通常可以由两个平面的交线确定.假设我们的两个平面为
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z) = 0\\ G(x,y,z) = 0 \end{cases} {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​
那么它的切向量就是
[ijkFx′Fy′Fz′Gx′Gy′Gz′]=Ai+Bj+Ck\begin{bmatrix} i & j & k\\ F'_x &F'_y &F'_z\\ G'_x & G'_y &G'_z \end{bmatrix} = Ai + Bj + Ck ⎣⎡​iFx′​Gx′​​jFy′​Gy′​​kFz′​Gz′​​⎦⎤​=Ai+Bj+Ck
然后我们来搞它的法平面,也就是与切线垂直的平面
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0,(x0,y0,z0)∈线A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0,(x_0,y_0,z_0)\in 线 A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0,(x0​,y0​,z0​)∈线
如果这个直线用的是参数方程的形式表示的话,也就是说
{x=x(t)y=y(t)z=z(t),t为参数\begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{cases},t为参数 ⎩⎪⎨⎪⎧​x=x(t)y=y(t)z=z(t)​,t为参数
那么它的切向量就是
(xt′(t),yt′(t),zt′(t)),t为参数(x'_t(t),y'_t(t),z'_t(t)),t为参数 (xt′​(t),yt′​(t),zt′​(t)),t为参数
然后它的法平面就是
A=xt′(t),B=yt′(t),C=zt′(t)的情况了A = x'_t(t),B=y'_t(t),C=z'_t(t)的情况了 A=xt′​(t),B=yt′​(t),C=zt′​(t)的情况了
法线和切平面是对一个平面方程来说的,一个平面方程通常可以写成F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0这个情况,然后我们研究它的法向量:
(Fx′,Fy′,Fz′)(F'_x,F'_y,F'_z) (Fx′​,Fy′​,Fz′​)
然后它的切平面,也就是跟法向量垂直的那个平面:
Fx′(x−x0)+Fy′(y−y0)+Fz′(z−z0)=0,(x0,y0,z0)∈平面F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0) = 0,(x_0,y_0,z_0)\in 平面 Fx′​(x−x0​)+Fy′​(y−y0​)+Fz′​(z−z0​)=0,(x0​,y0​,z0​)∈平面
这里需要注意这个法向量是朝着F式子增大的方向去的.比如x2+y2+z2=0x^2+y^2+z^2=0x2+y2+z2=0在第一象限的法向量是(2x,2y,2z)(2x,2y,2z)(2x,2y,2z)全都是正的,也就是往FFF增大的方向.

多元函数积分学

重积分

二重积分

二重积分是对面积微元进行积分,三重积分是对体积微元进行积分.

二重积分满足好几个性质:

1. 可比性质∬fdρ<∬gdρ,f<g\iint f d\rho < \iint g d\rho,f < g∬fdρ<∬gdρ,f<g
2. 估值性质m<f<M,mS<∬fdρ<MSm<f<M,mS<\iint f d\rho<MSm<f<M,mS<∬fdρ<MS
3. 中值定理∬fdρ=f(x0,y0)S\iint f d\rho = f(x_0,y_0)S∬fdρ=f(x0​,y0​)S

二重积分的积分顺序
∬Fdρ=∫x0x1∫y0y1dydx=∫y0y1∫x0x1dxdy\iint F d\rho = \int_{x_0}^{x_1} \int_{y_0}^{y_1}dydx = \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1}dxdy ∬Fdρ=∫x0​x1​​∫y0​y1​​dydx=∫y0​y1​​∫x0​x1​​dxdy
需要注意的是边界的判断,如果是函数的话,要画出区域然后换序.

当然也可以进行换序到极坐标方程上
∬SFds=∫∫ρdρdθ,ds=dρ(ρdθ)\iint_S F ds = \int \int \rho d \rho d\theta,ds = d\rho (\rho d\theta) ∬S​Fds=∫∫ρdρdθ,ds=dρ(ρdθ)

三重积分

对体积微元进行积分啊!∭Fdv\iiint F dv∭Fdv,上面那几个性质对于连续的F都成立.下面着重介绍换序的东西.换序柱坐标
dv=dzdρ(ρdθ)dv = dz d\rho (\rho d\theta) dv=dzdρ(ρdθ)
换序球坐标,γ\gammaγ是与zzz正向的夹角
dv=dρ(ρdγ)(ρsin⁡γdθ)=ρ2sin⁡γdρdθdγdv = d\rho (\rho d\gamma)(\rho \sin \gamma d\theta) = \rho^2 \sin \gamma d\rho d\theta d\gamma dv=dρ(ρdγ)(ρsinγdθ)=ρ2sinγdρdθdγ

常用重积分公式

∫−ππcos⁡(nx)dx=∫−ππsin⁡(nx)dx=0∫−ππcos⁡(mx)sin⁡(nx)dx=0∫−ππcos⁡(mx)cos⁡(nx)dx=∫−ππsin⁡(mx)sin⁡(nx)dx={0m≠nπm=n∫0πcos⁡(mx)cos⁡(nx)dx=∫0πsin⁡(mx)sin⁡(nx)dx={0m≠nπ2m=nIn=∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx={n−1nIn−2(n−1)!!n!!n=2k+1(n−1)!!n!!π2n=2k\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx = 0\\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\sin(nx) dx = 0\\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&m\ne n\\\pi &m=n\end{cases}\\ \int_{0}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&m\ne n\\{\pi\over 2}&m=n\end{cases}\\ I_n = \int_{0}^{\pi\over 2}\sin^n xdx=\int_{0}^{\pi\over 2}\cos^n xdx = \begin{cases}{n-1\over n}I_{n-2}\\{(n-1)!!\over n!!}&n=2k+1\\{(n-1)!!\over n!!}{\pi\over 2}&n=2k\end{cases} ∫−ππ​cos(nx)dx=∫−ππ​sin(nx)dx=0∫−ππ​cos(mx)sin(nx)dx=0∫−ππ​cos(mx)cos(nx)dx=∫−ππ​sin(mx)sin(nx)dx={0π​m​=nm=n​∫0π​cos(mx)cos(nx)dx=∫0π​sin(mx)sin(nx)dx={02π​​m​=nm=n​In​=∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx=⎩⎪⎨⎪⎧​nn−1​In−2​n!!(n−1)!!​n!!(n−1)!!​2π​​n=2k+1n=2k​

第一类积分

第一类曲线积分

它是对弧长积分.
∫Fds={∫F1+yx′2dxy=y(x)∫F(xt′)2+(yt′)2dt{x=x(t)y=y(t)∫Fρ2+ρ′2dρρ=ρ(θ)\int F ds = \begin{cases} \int F \sqrt{1+{y'_x}^2}dx&y=y(x)\\ \int F \sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}dt&\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\\ \int F \sqrt{\rho^2+\rho'^2}d\rho&\rho = \rho(\theta) \end{cases} ∫Fds=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​∫F1+yx′​2​dx∫F(xt′​)2+(yt′​)2​dt∫Fρ2+ρ′2​dρ​y=y(x){x=x(t)y=y(t)​ρ=ρ(θ)​
如果有对称性的话，那么可以利用对称性进行计算

第一类曲面积分

这个东西是对面积微元进行积分
∬+S/−S,z=z(x,y)F(x,y,z)dS=∬SF(x,y,z(x,y))1+zx′2+zy′2dxdy\iint_{+S/-S,z=z(x,y)} F(x,y,z) dS = \iint_S F(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy ∬+S/−S,z=z(x,y)​F(x,y,z)dS=∬S​F(x,y,z(x,y))1+zx′2​+zy′2​​dxdy
第二种方法是利用积分曲面的对称性和积分函数的奇偶性。具体原理跟上面曲线积分的奇偶性相同。

第三种方法是利用积分曲线的轮换对称性，只要变量换了区域不变，那么变量换了积分值也不会变。
∬Sx2dS,S:x2+y2+z2=1=∬Sy2dS=∬z2dS=13∬SR2dS=4πR43\iint_S x^2 dS,S:x^2+y^2+z^2=1\\ = \iint_S y^2 dS = \iint z^2 dS = {1\over 3}\iint_S R^2dS = {4\pi R^4 \over 3} ∬S​x2dS,S:x2+y2+z2=1=∬S​y2dS=∬z2dS=31​∬S​R2dS=34πR4​

第二类积分

第二类积分是有向积分。

第二类曲线积分

∫AB{F(x,y),Q(x,y)}⋅(dx,dy)=−∫BA{F(x,y),Q(x,y)}⋅(dx,dy)=∫L(Fcos⁡α+Gcos⁡β)ds(cos⁡α,cos⁡β)是L的方向余弦\int_{AB} \{F(x,y),Q(x,y)\} \cdot ({dx,dy}) = -\int_{BA}\{F(x,y),Q(x,y)\} \cdot(dx,dy) = \int_L (F\cos \alpha+G\cos \beta)ds\\ (\cos \alpha,\cos \beta)是L的方向余弦 ∫AB​{F(x,y),Q(x,y)}⋅(dx,dy)=−∫BA​{F(x,y),Q(x,y)}⋅(dx,dy)=∫L​(Fcosα+Gcosβ)ds(cosα,cosβ)是L的方向余弦

计算方法：

1. 直接法

L={x=x(t)y=y(t),t∈[a,b]∫LFdx+Gdy=∫LFxt′+Gyt′dtL = \begin{cases}x = x(t)\\y=y(t)\end{cases},t\in [a,b]\\ \int_L F dx + G dy = \int_L Fx'_t+Gy'_tdt L={x=x(t)y=y(t)​,t∈[a,b]∫L​Fdx+Gdy=∫L​Fxt′​+Gyt′​dt

1. 格林公式，要求L是正向闭曲线（沿着L前进，区域在其左侧）

∫LPdx+Qdy=∬S∂Q∂x−∂P∂ydxdy\int_L P dx + Qdy = \iint_S{\partial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y} dxdy ∫L​Pdx+Qdy=∬S​∂x∂Q​−∂y∂P​dxdy

1. 利用线积分与路径无关的结论

前提：∂Q∂x=∂P∂y结论：∫LPdx+Qdy=∫L0P(x,y0)dx+∫L1Q(x0,y)dy,L0+L1=L前提：{\partial Q\over \partial x} = {\partial P\over \partial y}\\ 结论：\int_L Pdx+Qdy = \int_{L0} P(x,y_0)dx + \int_{L1}Q(x_0,y)dy,L_0+L_1=L 前提：∂x∂Q​=∂y∂P​结论：∫L​Pdx+Qdy=∫L0​P(x,y0​)dx+∫L1​Q(x0​,y)dy,L0​+L1​=L

三维情况与上面差不多，然后补充一下：

1. 直接法

{x=x(t)y=y(t)z=z(t),t∈[a,b]∫LPdx+Qdy+Rdz=∫LPx′+Qy′+Rz′dt\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases},t\in [a,b]\\ \int_L Pdx+Qdy+Rdz = \int_L Px'+Qy'+Rz' dt ⎩⎪⎨⎪⎧​x=x(t)y=y(t)z=z(t)​,t∈[a,b]∫L​Pdx+Qdy+Rdz=∫L​Px′+Qy′+Rz′dt

1. 斯托克斯公式，要求L是S的正向。这个东西叫做旋度

∫LPdx+Qdy+Rdz=∬S[dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR]\int_L Pdx + Qdy+Rdz = \iint_S \begin{bmatrix} dydz & dzdx & dxdy\\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z}\\ P & Q &R \end{bmatrix} ∫L​Pdx+Qdy+Rdz=∬S​⎣⎡​dydz∂x∂​P​dzdx∂y∂​Q​dxdy∂z∂​R​⎦⎤​

第二类曲面积分

应该是一个向量{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}分别对dydz,dzdx,dxdydydz,dzdx,dxdydydz,dzdx,dxdy曲面的积分。这个东西叫做散度。方向与曲面选择相关。
∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S(Pcos⁡a+Qcos⁡b+Rcos⁡c)dS\iint_S Pdydz + Qdzdx+Rdxdy = \iint_S(P\cos a+Q\cos b+R\cos c)dS ∬S​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S​(Pcosa+Qcosb+Rcosc)dS
计算方法：

1. 直接法

∬SP(x,y,z)dydz=−+∬P(x(y,z),y,z)dydz,正负号选择与S的法向量与ox夹角有关\iint_S P(x,y,z)dydz = ^+_-\iint P(x(y,z),y,z)dydz,正负号选择与S的法向量与ox夹角有关 ∬S​P(x,y,z)dydz=−+​∬P(x(y,z),y,z)dydz,正负号选择与S的法向量与ox夹角有关

1. 直接法*2

∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S[P(−∂z∂x)+Q(−∂z∂y)+R]dxdy可以认为是利用了dzdx=−∂z∂x?\iint_S P dydz + Q dzdx + Rdxdy = \iint_S [P(-{\partial z\over \partial x}) + Q(-{\partial z\over \partial y}) + R]dxdy\\ 可以认为是利用了 {dz\over dx} = -{\partial z\over \partial x}? ∬S​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S​[P(−∂x∂z​)+Q(−∂y∂z​)+R]dxdy可以认为是利用了dxdz​=−∂x∂z​?

1. 高斯公式，要求S是V的外侧的闭曲面。如果不是的话，可以考虑搞成一个封闭的曲面。这东西就是散度

∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭V∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdV\iint_S Pdydz + Qdzdx+Rdxdy = \iiint_V {\partial P\over \partial x} + {\partial Q\over \partial y} + {\partial R\over \partial z} dV ∬S​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭V​∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​dV

无穷级数

常数项级数

数列a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_na1​,a2​,…,an​是一个数列，然后称S=∑aiS = \sum a_iS=∑ai​为无穷奇数。如果它收敛于某个数值，那么就称这个数列收敛于这个数值。如果没有极限，那么就称它发散。

对于无穷级数，它满足以下几个性质：

1. kanka_nkan​与ana_nan​的敛散性相同。
2. (an)−+(bn)=cn(a_n)^+_- (b_n) = c_n(an​)−+​(bn​)=cn​收敛+收敛=收敛。发散+发散=不确定。收敛+发散=发散
3. 改变前面有限项不影响敛散性
4. 收敛加括号必收敛，发散加括号可能收敛，加括号发散必发散
5. 收敛必要条件lim⁡n→+∞an=0\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0limn→+∞​an​=0

正项级数

正项级数敛散性判别方法（下面都是充分条件）：

1. 比较判别法

0≤an≤bn,∑bn,∑an前收敛后必收敛，后发散前必发散0 \leq a_n \leq b_n,\sum b_n,\sum a_n\\ 前收敛后必收敛，后发散前必发散 0≤an​≤bn​,∑bn​,∑an​前收敛后必收敛，后发散前必发散

1. 比较判别法的比值形式

常用的几个做b的函数：1np{1\over n^p}np1​,p大于1收敛，小于等于1发散。aqnaq^naqn，q大于等于1发散，小于1收敛。
lim⁡n→+∞anbn=l{l=+∞,b发散a必发散l=0,b收敛a必收敛l=e,e∈R,b和a同敛散性\lim_{n\rightarrow +\infty} {a_n\over b_n} = l\\ \begin{cases} l = +\infty&,b发散a必发散\\ l = 0&,b收敛a必收敛\\ l = e,e\in \R&,b和a同敛散性 \end{cases} n→+∞lim​bn​an​​=l⎩⎪⎨⎪⎧​l=+∞l=0l=e,e∈R​,b发散a必发散,b收敛a必收敛,b和a同敛散性​

1. 比值判别法

常见的是n!n!n!
lim⁡n→+∞an+1an=l{l>1,发散l<1,收敛l=1,不一定\lim_{n\rightarrow +\infty} {a_{n+1}\over a_n} = l\\ \begin{cases} l > 1&,发散\\ l < 1&,收敛\\ l = 1&,不一定 \end{cases} n→+∞lim​an​an+1​​=l⎩⎪⎨⎪⎧​l>1l<1l=1​,发散,收敛,不一定​

1. 根值判别法

常见的是nn,n!,n!n=1n^n,n!,\sqrt[n]{n!} = 1nn,n!,nn!​=1
lim⁡n→+∞ann=l{l>1,发散l<1,收敛l=1,不一定\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n} = l\\ \begin{cases} l > 1&,发散\\ l < 1&,收敛\\ l = 1&,不一定 \end{cases} n→+∞lim​nan​​=l⎩⎪⎨⎪⎧​l>1l<1l=1​,发散,收敛,不一定​

交错级数

(−1)nun,un>0(-1)^n u_n,u_n>0(−1)nun​,un​>0

莱布尼兹判定法则（充分条件），条件为以下两个：

1. un+1≤un,n对所有实数都成立u_{n+1} \leq u_n,n对所有实数都成立un+1​≤un​,n对所有实数都成立
2. lim⁡n→+∞un=0\lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = 0limn→+∞​un​=0

或者是它是绝对收敛的。

任意项级数

绝对值构成的级数收敛，那么称它为绝对收敛。本身收敛，绝对值构成的级数发散，则称为条件收敛。

绝对收敛级数的原级数必定收敛，条件收敛级数的正项或负项构成的级数一定发散。

幂级数

函数项级数是指∑ui(x)=u1(x)+u2(x)+…\sum u_i(x) = u_1(x)+u_2(x)+\dots∑ui​(x)=u1​(x)+u2​(x)+…。如果在x0x_0x0​处收敛,则称这个点为收敛点.收敛点构成的集合称为收敛域.和函数是指在收敛域内的∑ui(x)\sum u_i(x)∑ui​(x).

幂级数是指∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n∑an​(x−x0​)n称为x−x0x-x_0x−x0​的幂级数.∑anxn\sum a_n x^n∑an​xn称为x的幂级数.

收敛半径与收敛域

阿贝尔引理:关于x的幂级数如果在x1≠0x_1\ne 0x1​​=0处收敛,那么它在∣x∣<∣x1∣|x|<|x_1|∣x∣<∣x1​∣的地方绝对收敛.如果在x2x_2x2​发散,那么在∣x∣>∣x2∣|x| > |x_2|∣x∣>∣x2​∣都发散.

收敛半径:绝对收敛的开区域.可以为0,也可以为无穷.这两个特殊情况是人为定义的.

求收敛半径:lim⁡n→+∞∣an+1an∣=l\lim_{n\rightarrow +\infty} |{a_{n+1}\over a_n}| = llimn→+∞​∣an​an+1​​∣=l,那么1l1\over ll1​的扩展定义就是R.同样lim⁡n→+∞ann=l\lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} = llimn→+∞​nan​​=l也有相同的结论成立.

收敛区间是(−R,R)(-R,R)(−R,R),收敛域需要单独判断端点处的敛散情况.

四则运算性质

加减乘之后,收敛半径取两个收敛半径的最小值.

除法定义为乘法的逆运算

幂级数展开

如果f(x)f(x)f(x)在x=x0x=x_0x=x0​处任意阶可导,则展开成泰勒级数为
∑n=0+∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum_{n=0}^{+\infty} {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n n=0∑+∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n
特殊一点搞到x=0的展开,叫做麦克劳林级数
∑n=0+∞f(n)(0)n!xn\sum_{n=0}^{+\infty}{f^{(n)}(0)\over n!}x^n n=0∑+∞​n!f(n)(0)​xn
泰勒级数的x1x_1x1​点收敛于原函数的判定条件为
lim⁡n→+∞Rn(x1)=lim⁡n→+∞f(n+1)(t)(n+1)!(x−x0)(n+1),t∈[x0,x1]\lim_{n\rightarrow +\infty} R_n(x_1) = \lim_{n\rightarrow +\infty}{f^{(n+1)}(t)\over (n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)},t\in [x_0,x_1] n→+∞lim​Rn​(x1​)=n→+∞lim​(n+1)!f(n+1)(t)​(x−x0​)(n+1),t∈[x0​,x1​]
常用的麦克劳林展开式
11−x=∑n=0+∞xn11+x=∑n=0∞(−x)nex=∑n=0+∞xnn!sin⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n+1(2n+1)!cos⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n(2n)!ln⁡(1+x)=∫0x∑n=0+∞(−1)ntndt=∑n=0+∞(−1)nxn+1n+1{1\over 1-x}= \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\\ {1\over 1+x} = \sum_{n=0}^{_\infty} (-x)^n\\ {e^x} = \sum_{n=0}^{+\infty} {x^n\over n!}\\ \sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n {x^{2n+1}\over (2n+1)!}\\ \cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n {x^{2n}\over (2n)!}\\ \ln(1+x) = \int_0^{x} \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n t^n dt = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n {x^{n+1}\over n+1} 1−x1​=n=0∑+∞​xn1+x1​=n=0∑∞​​(−x)nex=n=0∑+∞​n!xn​sinx=n=0∑+∞​(−1)n(2n+1)!x2n+1​cosx=n=0∑+∞​(−1)n(2n)!x2n​ln(1+x)=∫0x​n=0∑+∞​(−1)ntndt=n=0∑+∞​(−1)nn+1xn+1​

傅里叶级数

三角函数的正交性

∫−ππsin⁡nxdx=∫−ππcos⁡nxdx=∫−ππsin⁡nxcos⁡mxdx=0∫−ππsin⁡nxcos⁡mxdx={0m≠nπm=n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx = \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx = 0\\ \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx dx = \begin{cases} 0&m\ne n\\ \pi &m=n \end{cases} ∫−ππ​sinnxdx=∫−ππ​cosnxdx=∫−ππ​sinnxcosmxdx=0∫−ππ​sinnxcosmxdx={0π​m​=nm=n​

傅里叶级数

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx,n=0,1,2,…bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx,n=1,2,…a_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx, n = 0,1,2,\dots\\ b_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx,n = 1,2,\dots an​=π1​∫−ππ​f(x)cosnxdx,n=0,1,2,…bn​=π1​∫−ππ​f(x)sinnxdx,n=1,2,…

展开所构成的傅里叶级数为
f(x)∼a02+∑n=1+∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) \sim {a_0\over 2} + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) f(x)∼2a0​​+n=1∑+∞​(an​cosnx+bn​sinnx)

收敛性定理

如果一个函数在周期区间[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上

1. 除了有限个第一类间断点(两侧极值都有)连续
2. 仅存在有限个极值点

则其傅里叶级数在[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上处处收敛于,而且:

1. f(x)f(x)f(x),连续点
2. f(x−)+f(x+)2{f(x^-)+f(x^+)\over 2}2f(x−)+f(x+)​间断点
3. f(−π+)+f(π−)2f(-\pi^+) + f(\pi^-)\over 22f(−π+)+f(π−)​,x=−+πx = ^+_- \pix=−+​π

一个普通周期函数

如果这个周期函数的周期区间是[−l,l][-l,l][−l,l],那么有以下的展开
X=xπl,X∈[−π,π]an=1π∫−ππf(x)cos⁡nXdX=πlπ∫−llf(x)cos⁡nπxldx=1l∫−llf(x)cos⁡nπxldxbn同理\begin{aligned} X &= x{\pi \over l},X\in [-\pi,\pi]\\ a_n &= {1\over \pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nX dX\\ &= {\pi\over l\pi}\int_{-l}^{l} f(x) \cos {n\pi x\over l}dx\\ &= {1\over l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos {n\pi x\over l}dx\\ b_n&同理 \end{aligned} Xan​bn​​=xlπ​,X∈[−π,π]=π1​∫−ππ​f(x)cosnXdX=lππ​∫−ll​f(x)coslnπx​dx=l1​∫−ll​f(x)coslnπx​dx同理​

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