布朗运动 1 | 基本概念与性质

文章目录

5.1 布朗运动概念
5.2 正态分布相关理论
- 5.2.1 柯西分布与高斯随机变量
- 5.2.2 区域分布与互相关系数的关系
- 5.2.3 贝叶斯定理与条件分布密度表示理论
- 5.2.4 联合正态分布的边缘分布密度与条件分布密度
- 5.2.5 几个基本关系式
- 5.2.6 反正弦率
- 5.2.7 零交叉问题
- 5.2.8 正态分布拖尾概率估计
5.3 布朗运动
- 5.3.1 有限维联合概率密度
- 5.3.2 布朗运动的性质
- 5.3.3 正态过程
- 5.3.4 马尔可夫性
- 5.3.5 反射性
- 5.3.6 时间可逆性

5.1 布朗运动概念

定义：若一个随机过程 {X(t),t≥0}\{X(t),t\ge0\}{X(t),t≥0} 满足

X(t)X(t)X(t) 是独立增量过程；
∀s,t≥0,X(t+s)−X(s)∼N(0,c2t)\forall s,t\ge0, X(t+s)-X(s)\sim {\mathcal N}(0,c^2t)∀s,t≥0,X(t+s)−X(s)∼N(0,c2t)；
X(t)X(t)X(t) 关于 ttt 是连续函数；

则称 X(t)X(t)X(t) 是布朗运动或维纳过程。

可以验证 R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=c2(t1∧t2)R(t_1,t_2) = {\mathbb E}[X(t_1)X(t_2)]=c^2(t_1\wedge t_2)R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=c2(t1∧t2)，所以布朗运动是非平稳过程。

5.2 正态分布相关理论

5.2.1 柯西分布与高斯随机变量

问题 1：求 Z=X/YZ=X/YZ=X/Y 的概率分布与分布密度函数。

定理 5.1：设 X1,X2X_1,X_2X1,X2 是独立的均值为 000，方差为 111 的正态分布随机变量，则 X1/∣X2∣X_1/|X_2|X1/∣X2∣ 服从 Cauchy 分布，分布密度函数为：f(x)=1/π(1+x2),−∞<x<∞f(x)=1/\pi(1+x^2), -\infty < x < \inftyf(x)=1/π(1+x2),−∞<x<∞，相应的概率分布函数为 F(x)=1/2+π−1arctan⁡x,−∞<x<∞F(x)=1/2 + \pi^{-1}\arctan x, -\infty < x < \inftyF(x)=1/2+π−1arctanx,−∞<x<∞。

5.2.2 区域分布与互相关系数的关系

定义 sin⁡α=E[XY]E[X2]E[Y2]=r\sin \alpha = \frac{{\mathbb E}[XY]}{\sqrt{{\mathbb E}[X^2]{\mathbb E}[Y^2]}}=rsinα=E[X2]E[Y2]E[XY]=r，那么 P(X>0,Y>0)=P(X<0,Y<0)=1/4+α/2πP(X > 0,Y > 0) = P(X < 0, Y < 0)=1/4 + \alpha / 2\piP(X>0,Y>0)=P(X<0,Y<0)=1/4+α/2π，P(X<0,Y>0)=P(X>0,Y<0)=1/4−α/2πP(X < 0,Y > 0) = P(X > 0, Y < 0)=1/4 - \alpha / 2\piP(X<0,Y>0)=P(X>0,Y<0)=1/4−α/2π。

证明：略。

5.2.3 贝叶斯定理与条件分布密度表示理论

贝叶斯定理：fY(y∣X=x)=fX(x∣Y=y)fY(y)fX(x)f_Y(y|X=x)=\frac{f_X(x|Y=y)f_Y(y)}{f_X(x)}fY(y∣X=x)=fX(x)fX(x∣Y=y)fY(y)。

该定理在讨论条件概率问题时，把需要利用分布函数讨论的问题转化为利用分布密度函数来讨论，简化了问题的讨论。

5.2.4 联合正态分布的边缘分布密度与条件分布密度

略。

5.2.5 几个基本关系式

假设 X,YX,YX,Y 服从均值为 0 的联合正态分布，则 E[XY]=rσ1σ2{\mathbb E}[XY] = r\sigma_1\sigma_2E[XY]=rσ1σ2，E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]+2E2[XY]{\mathbb E}[X^2Y^2]={\mathbb E}[X^2]{\mathbb E}[Y^2] + 2{\mathbb E}^2[XY]E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]+2E2[XY]，E[∣XY∣]=2σ1σ2π(cos⁡α+sin⁡α){\mathbb E}[|XY|] = \frac{2\sigma_1\sigma_2}{\pi}(\cos\alpha+\sin\alpha)E[∣XY∣]=π2σ1σ2(cosα+sinα)，其中 r=sin⁡α,−π/2<α≤π/2r=\sin\alpha, -\pi/2 < \alpha \le \pi/2r=sinα,−π/2<α≤π/2。

证明：略。

5.2.6 反正弦率

设 X(t)X(t)X(t) 为平稳过程，且 X(t+τ),X(t)X(t+\tau),X(t)X(t+τ),X(t) 的联合分布服从正态分布，对 X(t)X(t)X(t) 进行非线性运算
Y(t)={1,X(t)≥0−1,X(t)<0Y(t) = \begin{cases} 1, & X(t)\ge0 \\ -1, & X(t) < 0 \end{cases} Y(t)={1,−1,X(t)≥0X(t)<0
那么有 E[Y(t+τ)Y(t)]=2α/π{\mathbb E}[Y(t+\tau)Y(t)]=2\alpha / \piE[Y(t+τ)Y(t)]=2α/π。随机变量 X(t+τ),X(t)X(t+\tau),X(t)X(t+τ),X(t) 联合正态，那么 r=R(τ)/R(0)=sin⁡αr=R(\tau)/R(0)=\sin\alphar=R(τ)/R(0)=sinα，于是有 RY(τ)=2πarcsin⁡R(τ)R(0)R_Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin{\frac{R(\tau)}{R(0)}}RY(τ)=π2arcsinR(0)R(τ)。

5.2.7 零交叉问题

略。

5.2.8 正态分布拖尾概率估计

定理 5.2（Mill比值）：对任意的 x>0x > 0x>0 有 x1+x2e−x2/2<∫x∞e−u2/2du<1xe−x2/2\frac{x}{1+x^2} e^{-x^2/2} < \int_x^\infty e^{-u^2/2}du < \frac{1}{x} e^{-x^2/2}1+x2xe−x2/2<∫x∞e−u2/2du<x1e−x2/2。特别的，当 x→∞x\to\inftyx→∞ 时有 ∫x∞e−u2/2du≈1xe−x2/2\int_x^\infty e^{-u^2/2}du \approx \frac{1}{x} e^{-x^2/2}∫x∞e−u2/2du≈x1e−x2/2。

5.3 布朗运动

5.3.1 有限维联合概率密度

定理 5.3：设 {B(t),t≥0}\{B(t),t\ge0\}{B(t),t≥0} 为标准的布朗运动，令 x0=0,t0=0x_0=0,t_0=0x0=0,t0=0，则当 B(0)=0B(0)=0B(0)=0 时，对 ∀0<t1<t2<⋯<tn\forall 0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n∀0<t1<t2<⋯<tn，(B(t1),B(t2),...,B(tn))(B(t_1),B(t_2),...,B(t_n))(B(t1),B(t2),...,B(tn)) 的联合概率密度函数为 g(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)=Πi=1np(xi−xi−1;ti−ti−1)g(x_1,x_2,...,x_n; t_1,t_2,...,t_n) = \Pi_{i=1}^n p(x_i-x_{i-1}; t_i-t_{i-1})g(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)=Πi=1np(xi−xi−1;ti−ti−1)，其中 p(x;t)=12πtexp⁡(−x2/2t)p(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp(-x^2/2t)p(x;t)=2πt1exp(−x2/2t)。

5.3.2 布朗运动的性质

下面考虑标准布朗运动（即取 c=1c=1c=1）的性质。

平移特性：对任意的 s>0s > 0s>0，Bs(t)=B(t+s)−B(s),t≥0B_s(t)=B(t+s)-B(s),t\ge0Bs(t)=B(t+s)−B(s),t≥0 是标准布朗运动；

伸缩性：对任意的 c>0c > 0c>0，{cB(t/c),t≥0}\{\sqrt{c} B(t/c), t\ge0\}{cB(t/c),t≥0} 是标准布朗运动；

对称性：{−B(t),t≥0}\{-B(t),t\ge0\}{−B(t),t≥0} 是标准布朗运动；

鞅性：略。

其余还有正态过程性质、马尔可夫性质、反射性质、时间可逆性等在后面详细解释。

5.3.3 正态过程

定义：若随机过程 {X(t),t∈T}\{X(t),t\in T\}{X(t),t∈T}，对任意 ti∈T,i=1,2,...,nt_i\in T,i=1,2,...,nti∈T,i=1,2,...,n 有 X(t1),...,X(tn)X(t_1),...,X(t_n)X(t1),...,X(tn) 的联合分布为 nnn 维正态分布，则称 {X(t),t∈T}\{X(t),t\in T\}{X(t),t∈T} 为正态过程。

定理 5.4：设 {B(t),t≥0}\{B(t),t\ge 0\}{B(t),t≥0} 是正态过程，轨道连续，B(0)=0,∀s,t>0B(0)=0,\forall s,t>0B(0)=0,∀s,t>0，有 EB(t)=0,E[B(s)B(t)]=s∧t{\mathbb E}B(t)=0, {\mathbb E}[B(s)B(t)]=s\wedge tEB(t)=0,E[B(s)B(t)]=s∧t，则 {B(t),t≥0}\{B(t),t\ge0\}{B(t),t≥0} 是布朗运动，反之亦然。

证明：充分性易证。必要性证明，验证布朗运动有关条件：1）∀t,s≥0\forall t, s \ge0∀t,s≥0，可以验证增量 B(t)−B(s)∼N(0,∣t−s∣)B(t)-B(s) \sim {\mathcal N}(0,|t-s|)B(t)−B(s)∼N(0,∣t−s∣) 是零均值正态随机变量；2）再验证独立增量过程，而验证两个高斯分布的独立性只需要证明他们的互相关为 0，细节略。

5.3.4 马尔可夫性

正向马尔可夫性：∀t1<t2<⋯<tn\forall t_1 < t_2 < \cdots < t_n∀t1<t2<⋯<tn，在给定 B(t1),..,B(tn−1)B(t_1),..,B(t_{n-1})B(t1),..,B(tn−1) 下，B(tn)B(t_n)B(tn) 的条件概率密度函数与只给定 B(tn−1)B(t_{n-1})B(tn−1) 下 B(tn)B(t_n)B(tn) 的条件概率密度相同。

反向马尔可夫性：同理。

中间关于两侧的马尔可夫性：∀t1<t2<⋯<tn\forall t_1 < t_2 < \cdots < t_n∀t1<t2<⋯<tn，在给定 ...,B(ti−1),B(ti+1),......,B(t_{i-1}),B(t_{i+1}),......,B(ti−1),B(ti+1),... 下，B(ti)B(t_i)B(ti) 的条件概率密度函数与只给定 B(ti−1),B(ti+1)B(t_{i-1}), B(t_{i+1})B(ti−1),B(ti+1) 下 B(ti)B(t_i)B(ti) 的条件概率密度相同。

下面讨论 B(t2)B(t_2)B(t2) 关于给定 B(t1),B(t3)B(t_1),B(t_3)B(t1),B(t3) 的条件概率密度。

定理5.5：对 0≤t1<t<t20\le t_1 < t <t_20≤t1<t<t2，给定 B(t1)=a,B(t2)=b,B(0)=0B(t_1)=a, B(t_2)=b, B(0)=0B(t1)=a,B(t2)=b,B(0)=0，则 B(t)B(t)B(t) 的条件概率密度是一个正态密度，其均值为 a+(b−a)(t−t1)/(t2−t1)a + (b-a)(t-t_1)/(t_2-t_1)a+(b−a)(t−t1)/(t2−t1)，方差为 (t2−t)(t−t1)/(t2−t1)(t_2-t)(t-t_1) / (t_2-t_1)(t2−t)(t−t1)/(t2−t1)

证明：由于 B(t)B(t)B(t) 为正态过程，b=B(t1),B(t),B(t2){\boldsymbol b}=B(t_1),B(t),B(t_2)b=B(t1),B(t),B(t2) 服从联合高斯分布，其均值为 μ=[0,0,0]T{\boldsymbol \mu}=[0,0,0]^{\mathrm T}μ=[0,0,0]T，协方差矩阵
Σ=E[bbT]=[t1t1t1t1ttt1tt2]\Sigma = {\mathbb E}[{\boldsymbol b}{\boldsymbol b}^{\mathrm T}] = \begin{bmatrix} t_1 & t_1 & t_1 \\ t_1 & t & t \\ t_1 & t & t_2 \end{bmatrix} Σ=E[bbT]=⎣⎡t1t1t1t1ttt1tt2⎦⎤
直接根据高斯分布向量的条件分布即可得到。

Remark：实际上 E[B(t)∣B(t1),B(t2)]{\mathbb E}[B(t) | B(t_1),B(t_2)]E[B(t)∣B(t1),B(t2)] 是关于 ttt 的线性函数。

5.3.5 反射性

反射性：对 a>0a > 0a>0，定义 τa=inf⁡{t:B(t)=a}\tau_a=\inf\{t: B(t)=a\}τa=inf{t:B(t)=a} 表示首次击中时间，定义 B∗(t)={B(t),t≤τa2a−B(t),t>τaB^{\ast}(t)=\begin{cases} B(t), & t \le \tau_a \\ 2a-B(t), & t > \tau_a \end{cases}B∗(t)={B(t),2a−B(t),t≤τat>τa，则 {B∗(t),t≥0}\{B^\ast(t),t\ge0\}{B∗(t),t≥0} 是标准布朗运动；

证明：略。

5.3.6 时间可逆性

时间可逆性：定义 B′(t)={tB(1/t),t>00,t=0B'(t)=\begin{cases} tB(1/t), & t > 0 \\ 0, & t=0 \end{cases}B′(t)={tB(1/t),0,t>0t=0，则 {B′(t),t≥0}\{B'(t),t\ge0\}{B′(t),t≥0} 是标准布朗运动；

证明：B(t)B(t)B(t) 是正态过程，根据前面正态过程的定义，可以得到 tB(1/t)tB(1/t)tB(1/t) 也是正态过程。再根据定理 5.4 可以验证条件 E[B′(t)B′(s)]=s∧t{\mathbb E}[B'(t)B'(s)]=s\wedge tE[B′(t)B′(s)]=s∧t，关于在 t=0t=0t=0 点的连续性稍复杂，省略。由此可以证明 B′(t)B'(t)B′(t) 是布朗运动。

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