人工智能数学基础--不定积分1:概念与性质
一、引言
导数运算是根据一个函数求该函数对应导数的运算,导数本质上反映了函数在函数某点的运动态势,而不定积分则是根据一个已知的导函数求原函数,因此二者可以说是逆运算。
二、定义
2.1、 原函数定义
如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一x∈I,都有:
F’(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数。
2.2、原函数存在定理
定理:如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有:
F’(x)=f(x)。
简单地说就是:连续函数一定有原函数。
2.3、不定积分定义
如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x),使对任一x∈I,都有F’(x)=f(x),那么,对任何常数C,显然也有:
[F(x)+C]’=f(x)
即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明,如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
定义:
在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作:
其中记号 ∫ 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即:
∫ f(x)dx=F(x)+C
因而不定积分∫ f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
函数f(x)对应的原函数几何图形称为f(x)的积分曲线。
由不定积分的定义可知:不定积分∫ f(x)dx是f(x)的原函数,所以:
或:
d[∫f(x)dx] = f(x)dx
d[∫F’(x)dx]=∫dF(x)=F(x)+C
由此可见,微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算是互逆的,当记号d与∫连在一起时,要么相互抵消,要么抵消后差一个常数。
三、基本积分表
从导数运算可以推导出积分运算,以下十三个基本积分公式是不定积分的基础,必须熟记:
另外针对双曲函数(请参考《人工智能数学基础11:集合、函数及相关概念补充》)有如下积分公式:
下面是在基本积分公式基础上扩展出来的几个常用公式:
四、不定积分的性质
- 性质1:如果两个函数的不定积分都存在,则两个函数和的不定积分等于各自不定积分的和,即:
- 性质2: 函数与常数的乘积的不定积分等于常数与函数不定积分的乘积,即:
五、小结
本文介绍了不定积分的概念、性质以及基本的不定积分表,需要注意不定积分的运算公式只有加法和数乘的,没有象导数和微分那样还有乘除等运算公式。
说明:
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