【数论】同余（一）：同余的基本概念与性质

同余问题共7part，我的博客链接：

基本概念与性质
逆元：概念、求解方法与推导
线性同余方程
- 一元线性同余方程
- 一元线性同余方程组
- 多元线性同余方程
高次同余方程：BSGS算法（大小步算法、拔山盖世算法）
快速幂与矩阵快速幂

基本概念与性质

定义：a≡b(modm)a\equiv b(\mod m)a≡b(modm)
定义的等价条件：m∣(a−b)⇔∃k∈N,a=b+kmm\mid (a-b)\Leftrightarrow \exist k\in N,a=b+kmm∣(a−b)⇔∃k∈N,a=b+km
⇒c∈N,a±c≡b±c(modm),ac≡bc(modm)\Rightarrow c\in N,a\pm c\equiv b\pm c(\mod m),ac\equiv bc(\mod m)⇒c∈N,a±c≡b±c(modm),ac≡bc(modm)
⇒an≡bn,n>0\Rightarrow a^n\equiv b^n,n>0⇒an≡bn,n>0
⇒f(a)≡f(b),f(x)整系数多项式\Rightarrow f(a)\equiv f(b),f(x)整系数多项式⇒f(a)≡f(b),f(x)整系数多项式
⇒gcd⁡(a,m)=gcd⁡(b,m)\Rightarrow\gcd(a,m)=\gcd(b,m)⇒gcd(a,m)=gcd(b,m)
,d∣m⇒a≡b(modd),d\mid m\Rightarrow a\equiv b(\mod d),d∣m⇒a≡b(modd)
同余是等价关系（自反、对称、传递）
模mmm 剩余类：将整数分成mmm 个集合使得任意两个整数模mmm 同余
模mmm 完全剩余系：从模mmm 的每个剩余类中选一个数，构成的mmm 个数的集合
a≡b(modm),c≡d(modm)⇒ax+cy≡bx+dy(modm),x,y∈N,ac≡bd(modm)a\equiv b(\mod m),c\equiv d(\mod m)\Rightarrow ax+cy\equiv bx+dy(\mod m),x,y\in N,ac\equiv bd(\mod m)a≡b(modm),c≡d(modm)⇒ax+cy≡bx+dy(modm),x,y∈N,ac≡bd(modm)
ac≡bc(modm),gcd⁡(c,m)=d⇒a≡b(modm/d)ac\equiv bc(\mod m),\gcd(c,m)=d\Rightarrow a\equiv b(\mod m/d)ac≡bc(modm),gcd(c,m)=d⇒a≡b(modm/d)
ab≡(a%m)(b%m)(modm)ab\equiv(a\%m)(b\%m)(\mod m)ab≡(a%m)(b%m)(modm)

注：乘法改成加法防止溢出

// 计算a*b mod m，防止溢出
ll multi_add(ll a, ll b, ll m)
{ll ans = 0;while (b > 0){if (b & 1ll)ans = (ans + a) % m;b >>= 1ll;a = (a << 1ll) % m;}return ans;
}

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