拉格朗日乘数法，一种计算条件极值的方式

一、拉格朗日乘数法简介

在日常的生产生活中，当我们要要安排生产生活计划的时候，常常会在现实物理资源约束的条件下，计算得到收益最大或者损失最小的计划；像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值；拉格朗日乘数法是一种直接计算解决条件极值的方法；

拉格朗日乘数法的定义如下：

设有 f(x,y),φ(x，y)f(x, y), \varphi(x，y)f(x,y),φ(x，y) 两个函数，并且两者都有一阶连续偏导数,则做拉格朗日函数为

F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x，y)F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x，y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x，y)
令函数F的各个偏导数 Fx=0,Fy=0,Fλ=0F_{x} = 0, F_{y} = 0, F_{λ} = 0Fx=0,Fy=0,Fλ=0,计算各个偏导数并联立方程得到

{fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0\left\{\begin{matrix} f_{x}(x,y) + \lambda \varphi_{x}(x,y)=0 \\ f_{y}(x,y) + \lambda \varphi_{y}(x,y)=0 \\ \varphi(x,y)=0 \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0
由此方程组解出拉格朗日函数稳定点 (x0，y0，λ0)(x_{0}，y_{0}，λ_{0})(x0，y0，λ0),则 (x0，y0)(x_{0}，y_{0})(x0，y0) 就是函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在附加条件 φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0φ(x,y)=0 下的可能极值点;

二、拉格朗日乘数法的推导

目标函数

f(x,y)=0(1)f(x, y) = 0 \tag{1} f(x,y)=0(1)

约束条件

φ(x，y)=0(2)\varphi(x，y) = 0 \tag{2} φ(x，y)=0(2)
如果函数(1)在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 得到极值，那么首先会满足约束条件

φ(x0，y0)=0(3)\varphi(x_{0}，y_{0}) = 0 \tag{3} φ(x0，y0)=0(3)
设 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 与 φ(x，y)\varphi(x，y)φ(x，y)在点 (x0,y0)(x_{0}, y_{0})(x0,y0) 的某个邻域内有连续偏导数，且满足

φy(x0，y0)≠0\varphi_{y}(x_{0}，y_{0}) \ne 0 φy(x0，y0)=0
由隐函数存在定理，式(2)在点 $(x_{0}, y_{0}) $ 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且具有连续导数的函数 y=y(x)y=y(x)y=y(x) ，并且有 y0=f(x0)y_{0}=f(x_{0})y0=f(x0),以及

dydx∣x=x0=−φx(x0,y0)φy(x0,y0)(4)\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} \tag{4} dxdy∣∣∣∣x=x0=−φy(x0,y0)φx(x0,y0)(4)
将 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 带入公式(1)得到

z=f(x,y(x))(5)z = f(x, y(x)) \tag{5} z=f(x,y(x))(5)
公式(5)也同公式(1)在 $(x_{0}, y_{0}) $ 处取的极值，有一元函数取得极值的必要条件可得

dzdx∣x=x0=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)dydx∣x=x0=0(6)\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left.f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=0 \tag{6} dxdz∣∣∣∣x=x0=fx(x0,y0)+fy(x0,y0) dxdy∣∣∣∣x=x0=0(6)
将公式(4)带入公式(6)得到

fx(x0,y0)−fy(x0,y0)⋅φx(x0,y0)φy(x0,y0)=0(7)f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot \frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0 \tag{7} fx(x0,y0)−fy(x0,y0)⋅φy(x0,y0)φx(x0,y0)=0(7)
为了解出 $(x_{0}, y_{0}) $ ，引入辅助变量

λ0=−fy(x0,y0)φy(x0,y0)\lambda_{0}=-\frac{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} λ0=−φy(x0,y0)fy(x0,y0)

则公式(3)和公式(7)均成立等价于

{fx(x0,y0)+λ0φx(x0,y0)=0fy(x0,y0)+λ0φy(x0,y0)=0φ(x0,y0)=0(8)\left\{\begin{array}{l} f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \end{array}\right. \tag{8} ⎩⎨⎧fx(x0,y0)+λ0φx(x0,y0)=0fy(x0,y0)+λ0φy(x0,y0)=0φ(x0,y0)=0(8)
在 f(x,y),φ(x，y)f(x, y), \varphi(x，y)f(x,y),φ(x，y) 给定的前提下，我们可以通过公式(8)计算得到 (x0,y0,λ0)(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0})(x0,y0,λ0) ,我们可根据公式(8)的特点构造以下函数

F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \phi(x, y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)

可以看到公式(8)等价 F(x,y,λ)F(x, y, \lambda)F(x,y,λ) 的以下偏导数

{Fx(x0,y0,λ0)=0Fy(x0,y0,λ0)=0Fλ(x0,y0,λ0)=0\left\{\begin{array}{l} F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{\lambda}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \end{array}\right. ⎩⎨⎧Fx(x0,y0,λ0)=0Fy(x0,y0,λ0)=0Fλ(x0,y0,λ0)=0

通过以上推演过程，函数 F(x,y,λ)F(x, y, \lambda)F(x,y,λ) 称为拉格朗日函数，参数λ称为拉格朗日乘数，点 (x0,y0,λ0)(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0})(x0,y0,λ0) 称为 F(x,y,λ)F(x, y, \lambda)F(x,y,λ) 的驻点或稳定点.

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