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拉格朗日乘数法

“

一种不直接依赖消元法而求解条件极值问题的有效方法

二元函数入手

我们从皆为二元函数这一简单情况人手. 欲求函数

的极值,其中受条件

的限制. 若把条件看作所满足的曲线方程,并设上的点为在条件下的极值点,且在点的某邻城上方程能惟一确定可微的隐函数则必定也是的极值点. 故由在可微, 在可微,得到

而当满足隐函数定理条件时

把代人后又得到

在几何意义上,上式表示曲面的等高线与曲线在处具有公共切线，从而存在某一常数 ,使得在处满足

如果引人辅助变量和辅助函数

则上面三式就是

这样就把条件极值问题、转化为讨论函数的无条件极值问题. 这种方法称为拉格朗日乘数法, 函数中的函数 L 称为拉格朗日函数，辅助变量称为拉格朗日乘数。

一般函数→多元函数

以上讨论的是两个变量的拉格朗日乘数，一般条件极值问题的拉格朗日函数是

其中为拉格朗日乘数,并有下面定理:

定理 18.6设在条件函数的限制下,求目标函数的极值问题,其中与在区域 D 上有连续的一阶偏导数. 若 D 的内点是上述问题的极值点,且雅可比矩阵

的秩为 m,则存在 m 个常数 , 使得为一般的拉格朗日函数的稳定点,即( 为 n+m 个方程

的解.

应用举例

例子：抛物面

被平面

截成一个椭圆。求这个椭圆到原点的最长与最短距离。

解：这个问题实质上就是要求函数

在条件及下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令

对求一阶偏导数,并令它们都等于 0 ,则有

求得这方程组的解为与

上式就是拉格朗日函数的稳定点,且所求的条件极值点必在其中取得. 由于所求问题存在最大值与最小值(因为函数在有界闭集上连续,从而必存在最大值与最小值),故由

所求得的两个值,正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离

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