漫步微积分十三—

y=x4y=x^4的导数是y′=4x3y'=4x^3。但是4x34x^3依然可导，12x212x^2。用y′′y''表示，叫做原函数的二阶导。对二阶导y′′=12x2y''=12x^2求导得到三阶导y′′′=24xy'''=24x，一直这样做知道没有定义为止。对于高阶导，有些符号是共用的，我们都应该熟悉他们。对函数u=f(x)u=f(x)逐次求导得

一阶导数二阶导数三阶导数n阶导数f′(x)f′′(x)f′′′(x)fn(x)y′y′′y′′′y(n)dydxd2ydx2d3ydx3dnydxnddxf(x)d2dx2f(x)d3dx3f(x)dndxnf(x)

\begin{equation} \begin{array}{ccccc} 一阶导数 &f'(x)&y'&\frac{dy}{dx}&\frac{d}{dx}f(x)\\ 二阶导数&f''(x)&y''&\frac{d^2y}{dx^2}&\frac{d^2}{dx^2}f(x)\\ \ 三阶导数&f'''(x)&y'''&\frac{d^3y}{dx^3}&\frac{d^3}{dx^3}f(x)\\ n阶导数&f^{n}(x)&y^{(n)}&\frac{d^ny}{dx^n}&\frac{d^n}{dx^n}f(x) \end{array}\notag \end{equation}

这些符号按阶数给出。用符号′'表示比较麻烦，所以在三阶导以上不经常用。有时候，将原函数看作零阶导数会非常方便，写作f(x)=f(0)(x)f(x)=f^{(0)}(x)。第三列的上标位置看着很奇怪，我们这样理解，它是一阶导数的二次求导

d2ydx2=ddx(dydx)

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

等式的左边，上标22在dd和dxdx的上部，和右边的符号相一致。

更高阶的导数有什么用呢？之后我们会看到，在几何上，f′′(x)f''(x)的符号决定了曲线y=f(x)y=f(x)是凸的还是凹的。另外二阶导数的定性分析还会提炼成定量的计算公式。

物理学中，二阶导非常重要。如果f=f(t)f=f(t)给出了时刻tt运动目标的位置，那么我们就知道位置函数的一阶和二阶导

v=dsdta=dvdt=d2sdt2

v=\frac{ds}{dt}\qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}

分别是时间tt对应的速度和加速度。加速的的中心地位来源于牛顿第二定律，即运动物体的加速度与施加于它的力成正比。牛顿力学的基本问题是利用微积分来推导运动的性质。之后我们会接触到相关问题。

高阶导不像二阶导，它没有这样基本的几何或物理解释。然而，我们会看到，这些导数也是有用的，它将函数扩展成无穷级数。

所有的应用在后面的文章中都会进行详细的讨论。同时，我们目前需要熟练计算方法。

例1：很容易求出函数y=x5y=x^5的所有导数：

y′y(4)=5x4,y′=20x3,y′′′=60x2=120x,y(5)=120,y(n)=0n>5

\begin{align} y'&=5x^4,\quad y'=20x^3,\quad y'''=60x^2\notag\\ y^{(4)}&=120x,\quad y^{(5)}=120,\quad y^{(n)}=0\quad n>5\notag \end{align}

下面的符号将经常用到。对于任何正数nn，符号n!n!是从11到nn所有正数的乘积:

n!=1⋅2⋅3⋯n

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n

因此，1!=1,2!=1⋅2=2,3!=1⋅2⋅3=6,4!=1⋅2⋅3⋅4=241!=1,2!=1\cdot 2=2,3!=1\cdot 2\cdot 3=6,4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24等等。如果我们重复对y=xny=x^n求导，那么

y′y′′y′′′y(n)y(k)=====nxn−1n(n−1)xn−2n(n−1)(n−2)xn−3n(n−1)(n−2)⋯2⋅1=n!0k>n.

\begin{eqnarray*} y'&=&nx^{n-1}\\ y''&=&n(n-1)x^{n-2}\\ y'''&=&n(n-1)(n-2)x^{n-3}\\ y^{(n)}&=&n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\\ y^{(k)}&=&0\quad k>n. \end{eqnarray*}

例2：为了找到y=1/x=x−1y=1/x=x^{-1}nn阶导数的通式，我们从一阶导开始计算直到观察出模式来：

y′y′′y′′′y(4)y(5)=====−x−22x−3−2⋅3x−4=−3!x−42⋅3⋅4x−5=4!x−5−2⋅3⋅4⋅5x−6=−5!x−6.

\begin{eqnarray*} y'&=&-x^{-2}\\ y''&=&2x^{-3}\\ y'''&=&-2\cdot 3x^{-4}=-3!x^{-4}\\ y^{(4)}&=&2\cdot 3\cdot 4x^{-5}=4!x^{-5}\\ y^{(5)}&=&-2\cdot 3\cdot 4\cdot 5x^{-6}=-5!x^{-6}. \end{eqnarray*}

观察上面的过程，不考虑符号，那么y(n)=n!x−(n+1)y^{(n)}=n!x^{-(n+1)}。对于符号有种比较方便的形式(−1)n(-1)^n，如果是奇数，那么它等于−1-1，如果是偶数，那么它等于11。因此对于所有的正整数nn

y(n)=(−1)nn!x−(n+1)

y^{(n)}=(-1)^nn!x^{-(n+1)}

例3：对一个圆x2+y2=a2x^2+y^2=a^2，利用隐函数求导，可以找到y′′y''的简洁形式。首先对等式两边求导得

2x+2yy′=0ory′=−xy.(1)

\begin{equation} 2x+2yy'=0\quad or\quad y'=-\frac{x}{y}.\tag1 \end{equation}

利用除法法则在求导得

y′′=−y−xy′y2.

y''=-\frac{y-xy'}{y^2}.

将(1)代入上式得

y′′=−y−x(−x/y)y2=−y2+x2y3=−a2y3

y''=-\frac{y-x(-x/y)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{a^2}{y^3}

这对每个人来说都是比较简洁的形式了。

例4：重复求导很容易的证明二项式定理。对于任意正整数nn，考虑函数

(1+x)n=(1+x)(1+x)⋯(1+x)

(1+x)^n=(1+x)(1+x)\cdots (1+x)

很明显，该函数是nn次多项式，即

(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn(2)

\begin{equation} (1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n\tag2 \end{equation}

我们的问题是找出系数是多少。如果我们令x=0x=0，立马得出a0=1a_0=1。接下来，对(2)式两边重复求导得

n(1+x)n−1n(n−1)(1+x)n−2n(n−1)(n−2)(1+x)n−3===a1+2a2x+3a3x2+⋯+nanxn−12a2+3⋅2a3x+⋯+n(n−1)anxn−23⋅2a3+⋯+n(n−1)(n−2)anxn−3

\begin{eqnarray*} n(1+x)^{n-1}&=&a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots +na_nx^{n-1}\\ n(n-1)(1+x)^{n-2}&=&2a_2+3\cdot 2a_3x+\cdots +n(n-1)a_nx^{n-2}\\ n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}&=&3\cdot 2a_3+\cdots +n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3} \end{eqnarray*}

等等。这些等式对所有xx都成立，所以我们取x=0x=0。从而得出系数值为：

a1ak==n,a2=n(n−1)2,a3=n(n−1)(n−2)2⋅3,…n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)1⋅2⋅3⋯k,…,an=1.

\begin{eqnarray*} a_1&=&n,\quad a_2=\frac{n(n-1)}{2},\quad a_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3},\quad \ldots\\ a_k&=&\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k},\quad \ldots ,\quad a_n=1. \end{eqnarray*}

得到系数后，代入等式(2)得

(1+x)n=1+nx+n(n−1)1⋅2x2+n(n−1)(n−2)1⋅2⋅3x3+⋯+n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)1⋅2⋅3⋯kxk+⋯+xn.(3)

\begin{align} (1+x)^n=&1+nx+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}x^3 \notag\\ &+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k}x^k+\cdots+x^n.\tag3 \end{align}

这就是二项式定理。

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漫步微积分十三——高阶导数

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