漫步微积分十四——增、减函数和极大、极小值

本篇将会看到，我们学习到的计算导数的用武之地。

我们第一个应用是导数作为曲线切线斜率的解释。通过这个应用，我们可以快速发现函数最重要的特征并描绘出它的图像。在物理科学中画图是最基本的要求。在经济、生物和心理学的研究中，微积分也是一项最有用的技能之一。

如果xx轴的某个区间上x1<x2x_1暗含着f(x1)<f(x2)f(x_1)，那么函数f(x)f(x)在此区间上是增函数。用几何语言来说就是，从左到右，图像上升。同样的，如果x1<x2x_1暗含f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2)，那么函数f(x)f(x)是减函数(图像下降)。如图1 所示。

图1

画函数图像时，知道哪些区间是增的，哪些区间时减的非常重要。而导数的符号给出了这些信息：

对任意区间，如果f‘(x)>0f‘(x)>0，那么f(x)f(x)递增，如果f′(x)<0f'(x)，那么f(x)f(x)递减。

从几何上来考虑会非常明显，如果斜率为正，那么就是一条斜向右上的直线，如果斜率为负，就是斜向右下的直线。如图2。

平滑的曲线通过波峰(斜率为零)从上升过渡到下降。同样的，通过波谷(斜率为零)从下降过渡到上升。在这些点中，有函数的极大值和极小值。我们通过找到函数的驻点(也就是f′(x)=0f'(x)=0)可以定位这些值。也就是说，我们令导数等于零即切线是水平方向的，然后求解等式f′(x)=0f'(x)=0，找出对应的xx 值。在图2中，驻点是x1,x2,x3x_1,x_2,x_3，拐点对应的值为f(x1),f(x2),f(x3)f(x_1),f(x_2),f(x_3)。

图2

驻点是极大值或极小值的充分条件，但不是必要条件。理解这一点很重要。在图2中，驻点x3x_3处，图像即不是极大值也不是极小值，只是在导数为正的两个区间之间平缓通过。

还有一点应该指出，我们讨论的是局部最大最小值。这些值相比于附近的点来说是最大或最小。例如，图2中，虽然有许多点比f(x1)f(x_1)高，但是它依然是极大值。如果我们要寻找全局最大值，我们必须比较不同的极大值来确定哪一个更大。

例1：画下面多项式的图像

y=f(x)=2x3−3x2−1x+12

y=f(x)=2x^3-3x^2-1x+12

首先计算导数并尽可能分解因式：

f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)

f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)

驻点是x=−1,x=2x=-1,x=2，将−1,2-1,2带入f(x)f(x)得，对应的值为y=19,−8y=19,-8。现在我们测试拐点划分的三个区间，每个区间内的导数符号是一样的。当x<−1x时，x+1,x−2x+1,x-2都是负的，所以他们的乘积为正，即f′(x)>0f'(x)>0。当−1<x<2-1时，x+1x+1为正，x−2x-2为负，所有他们的乘积为负，即f′(x)<0f'(x)。当x>2x>2时，x+1,x−2x+1,x-2 均为正，所有他们的乘积为正，即f′(x)>0f'(x)>0。这些结果展示在图3 中，斜线给出了每个区间图像的示意方向。在图4中，我们画出点(−1,19),(2,−8)(-1,19),(2,-8)并利用图3 提供的导数符号信息画出通过这些点的平滑曲线，也就是，当x<−1x时，f(x)f(x)递增，当−1<x<2-1时，函数递减，当x>2x>2时，函数递增。注意，在图4中两个轴我们用了不同的单位长度，这只是为了节省空间而已(我们这里只是为了可视化函数的大致趋势，所有没必要对数轴精确相等)。很明显，极大值在点x=−1x=-1 处，极小值在x=2x=2 处，并且不存在最大或最小值。

图3

函数零点在绘制图像时是非常有用，但是找到他们有不太容易。在图4中，近似为−2.2,0.9,2.9-2.2,0.9,2.9。事实上，有时候绘制图像可以帮助我们以任意的精度来估计零点的位置。后面我们会介绍一个标准的求解方法。

图4

例2：有理函数

y=xx2+1

y=\frac{x}{x^2+1}

它的函数图像如图5。为了准确地找到最大值和最小值，我们先计算导数并让它等于0：

y′=(x2+1)⋅1−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2=0

y'=\frac{(x^2+1)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0

等式的根为x=1,x=−1x=1,x=-1，所以最大值和最小值分别位于x=1,x=−1x=1,x=-1处。最大值和最小值为y=12,y=−12y=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}。再根据导数符号，−1<x<1-1时为正，x<−1,x>1x1时为负，基于这些事实，可以得出在区间−1<x<1-1 上，函数递增，在x<−1,x>1x1 上，函数递减。

图5

这些例子给出了画函数f(x)f(x)图像的一般法则。

1、f(x)的驻点
2、f(x)驻点处的值
3、驻点之间}f’(x)的符号
4、f(x)零点
5、当x→∞,x→−∞x\to \infty ,\quad x\to -\infty时,f(x)的行为
6、函数 f(x)在未定义点附近的行为

然而，最重要法则是：不要做任何的法则的奴隶、要灵活、注意常识。匈牙利有句古老的谚语“所有固定的想法都是错的，包括这一句”

注解1：极大值与极小值可以发生在下面三种情况里：端点、尖点和拐角点，这些在前面的讨论中没有涉及到。作为例子，我们考虑这三个函数

x=1−x2−−−−−√,y=x2/3,y=1−x2−−√=1−|x|.

x=\sqrt{1-x^2},\quad y=x^{2/3},\quad y=1-\sqrt{x^2}=1-|x|.

他们的图像如图6。第一个函数在定义域为−1≤x≤1-1\leq x\leq 1，在端点处有极小值，但是导数不等于零。第二个函数在尖点x=0x=0的位置有极小值，因为它的导数

y′=23x−1/3=23x√3

y'=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}

在0的左边为负，右边为正。无限接近于0。第三个函数在x=0x=0处有极大值，这个极大值是个拐角。在寻找函数的极大值和极小值时，让导数等于零是一方面，还需要时刻记得这三种可能性。

图6

注解2：数学家们是专业的怀疑论者。他们的一个爱好就是训练自己去攻击松散的论点并只接受那些他们发现毫无疑问的命题，最终的确定性就是对他们努力最大的奖励。我们关于增减函数和极大极小值的命题仅仅有几何可行性的支持。命题本身是真的，要更仔细地研究他们涉及到一个研究领域，叫做分析。它是彻底研究微积分的基础。然而，这本书是面向学生的，不是数学家。我们最关心的是用
工具而不是工具本身。我们只是给除了一些初步讨论，对于严格证明感兴趣的同学可以搜索相关书籍和资料。(至于博主是否写出来……看心情)

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