图论 —— 图的连通性 —

缩点常应用于给一个有向图，求在图中最少要加多少条边能使得该图变成一个强连通图

首先求出该图的各个强连通分量，然后把每个强连通分量看出一个点(即缩点)，最后得到了一个有向无环图(DAG)

对于一个DAG，需要添加 max(a,b) 条边才能使其强连通

其中 a 为 DAG 中出度为 0 的点总数，b 为 DAG 中入度为 0 的点总数

int n,m;
vector<int> G[N];
stack<int> S;
int dfn[N],low[N];
bool vis[N];//标记数组
int sccno[N];//记录结点i属于哪个强连通分量
bool in[N],out[N];//记录入度、出度是否为0
int block_cnt;//时间戳
int sig;//记录强连通分量个数
void Tarjan(int x){vis[x]=true;dfn[x]=low[x]=++block_cnt;//每找到一个新点，纪录当前节点的时间戳S.push(x);//当前结点入栈for(int i=0;i<G[x].size();i++){//遍历整个栈int y=G[x][i];//当前结点的下一结点if(vis[y]==false){//若未被访问过Tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);}else if(!sccno[y])//若已被访问过，且不属于任何一个连通分量low[x]=min(low[x],dfn[y]);}if(dfn[x]==low[x]){//满足强连通分量要求sig++;//记录强连通分量个数while(true){//记录元素属于第几个强连通分量int temp=S.top();S.pop();sccno[temp]=sig;if(temp==x)break;}}
}
void shrink(){//缩点memset(in,false,sizeof(in));memset(out,false,sizeof(out));for(int i=1;i<=sig;i++){//对于所有的强连通分量，将其入度、出度均视为1in[i]=true;out[i]=true;}for(int x=0;x<n;x++){//枚举n个点for(int i=0;i<G[x].size();i++){//对第x个点的每个后继节点int y=G[x][i];if(sccno[x]!=sccno[y]){//统计每个点出度、入度是否为0out[sccno[x]]=false;in[sccno[y]]=false;}}}
}
int main()
{int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<n;i++)G[i].clear();while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);x--;y--;G[x].push_back(y);}sig=0;block_cnt=0;memset(vis,false,sizeof(vis));memset(dfn,0,sizeof(dfn));memset(low,0,sizeof(low));memset(sccno,0,sizeof(sccno));//Tarjan求强连通分量for(int i=0;i<n;i++)if(vis[i]==false)Tarjan(i);shrink();//缩点int a=0,b=0;for(int i=1;i<=sig;i++){//统计入度、出度为0的点的个数if(in[i])a++;if(out[i])b++;}int res=max(a,b);if(sig==1)//强连通分量为1时res=0;printf("%d\n",res);}
}

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