【概念】

1.割点

1）割点：删除某点后，整个图变为不连通的两个部分的点

2）割点集合：在一个无向图中删除该集合中的所有点，能使原图变成互不相连的连通块的点的集合

3）点连通度：最小割点集合点数

如上图，若去掉 0，则图被分成 12 和 34 两个连通分量；若去掉 3，则图被分成 012 和 4 两个连通分量。

故：0、3 是割点，两者是一个割点集，点连通度是 2

2.桥

1）桥（割边）：删除某边后，使得连通图变为不连通的图，一图中可能有多条割边

2）割边集合：所有割边的集合

3）边连通度：最小割边集合边数

如上图，去掉 5-6，2-5 后不再连通，图被分为 1234、5、6 三个连通分量

故：5-6、2-5 是割边，两者组成的集是割边集，边连通度是 2

【原理】

1.求割点

对于一棵 DFS 搜索树：

1）根结点：当且仅当根节点至少有两个儿子时，其是割点

2）其他点：对于其他点 v，当仅有一个儿子 u 时，从 u 或 u 的后代出发，没有指向 v 祖先(不含 v)的边，则删除 v后，u 和 v 的父亲不连通时，v 是割点

2.求桥

对于边 (u,v)，若发现 v 和它的后代不存在一条连接 u 或其祖先的边，则删除 (u,v) 后 u 和 v 不连通，因此边 (u,v) 为桥

【过程】

1.求割点

1）对图进行 Tarjan 算法，得到 dfn 和 low 两个数组

2）每遍历一个新的 u 的儿子 v 都记录个数

3）low[u] 值更新后进行以下判断（前提：v 未被遍历）：

① u 为树根，且儿子个数大于 1

② u 不为树根，但 low[v]>=dfn[u]

满足以上任意条件 u 便为割点，记录在一数组里，Tarjan 完成后再输出即可（中途输出会重复）

2.求桥

判断原则：若 low[v]>dfn[u]，则 (u,v) 为割边。

由于有的图有重边，因此不好通过上述判断原则来处理，故使用以下方法：

1）对图进行 Tarjan 算法，得到 dfn 和 low 两个数组

2）形参加上 father，作用为记录 u 的父亲节点，避免在遍历 v 时遇到重边重新更新 low[u]

3）在 v 已被遍历的位置加上判断：如果 v 点等于 father，那么就不更新 low[u] 值

4）Tarjan算法结束后，遍历所有节点u及其子节点v，如果 low[u]==low[v]，那么这条边就为割边

【实现】

1.先将数据保存下来，再求割点与桥

int n,m;
int low[N],dfn[N];
vector<int>G[N];
bool is_cut[N];//记录是否为割点
int father[N];
int tim;//时间戳
void Tarjan(int x,int pre){father[x]=pre;//记录每一个点的父亲dfn[x]=low[x]=tim++;//每找到一个新点，纪录当前节点的时间戳for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i];//当前结点的下一结点if(dfn[y]==-1){//若未被访问过Tarjan(y,x);low[x]=min(low[x],low[y]);}else if(pre!=y)//假如k是i的父亲的话，那么这就是无向边中的重边，有重边那么一定不是桥low[x]=min(low[x],dfn[y]);//可能dfn[k]！=low[k]，所以不能用low[k]代替dfn[k],否则会上翻过头}
}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;++i){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(y);G[y].push_back(x);}tim=0;memset(low,-1,sizeof(low));memset(dfn,-1,sizeof(dfn));memset(father,0,sizeof(father));memset(is_cut,false,sizeof(is_cut));Tarjan(1,0);//先Tarjan求出dfn和low数组int root=0;for(int i=2;i<=n;i++){//统计根节点子树的个数，根节点的子树个数>=2,即为割点int temp=father[i];if(temp==1)root++;else{if(low[i]>=dfn[temp])//割点的条件is_cut[temp]=true;}}if(root>1)is_cut[1]=true;//打印割点for(int i=1;i<=n;++i)if(is_cut[i])printf("%d ",i);printf("\n");for(int i=1;i<=n;++i){int temp=father[i];if(temp>0&&low[i]>dfn[temp])//桥的条件printf("%d,%d\n",temp,i);}return 0;
}

2.在 Tarjan 的过程中求桥

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#define EPS 1e-9
#define PI acos(-1.0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
const int MOD = 1E9+7;
const int N = 1000000+5;
const int dx[] = {-1,1,0,0};
const int dy[] = {0,0,-1,1};
using namespace std;struct Edge{int from,to,next;int cut;//记录该边是否为桥Edge(){}Edge(int from,int to,int next,int cut):from(from),to(to),next(next),cut(cut){}
}edge[N];
int n,m;
int head[N],edgeNum;
int dfn[N],low[N];
int block_cnt;
void addEdge(int from,int to){//添边edge[edgeNum]=Edge(from,to,head[from],false);head[from]=edgeNum++;
}
void tarjin(int x,int father){low[x]=dfn[x]=++block_cnt;for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){int y=edge[i].to;if(!dfn[y]){tarjin(y,x);if(low[x]>low[y])low[x]=low[y];if(low[y]>dfn[x])edge[i].cut=true;}else if(y!=father)low[x]=min(low[x],dfn[y]);}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);memset(dfn,0,sizeof(dfn));memset(head,-1,sizeof(head));edgeNum=0;while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addEdge(x,y);addEdge(y,x);}tarjin(1,1);   for(int i=0;i<edgeNum;i++)//打印桥if(edge[i].cut)printf("%d %d\n",edge[i].from,edge[i].to);return 0;
}

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第1节连通性强连通、割点和桥（一）
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poj1144 - tarjan求割点
何为割点?也就是题目中的关键点.在一个无向图中,去掉一个点,这个无向图会变成多个子图,那么这个点就叫做割点同理,割边也是如此,如果去掉一条边,能让无向图变成多个子图,那么这条边叫做割边,所谓的桥. ...
[UVA315]Network（tarjan, 求割点）
题目链接:https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem ...

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【概念】

1.割点

2.桥

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1.求割点

2.求桥

【过程】

1.求割点

2.求桥

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1.先将数据保存下来，再求割点与桥

2.在 Tarjan 的过程中求桥

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