图论复习之强连通分量以及缩点—Tarjan算法

                                by RtPYH

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【强连通分量以及连通子图】

  #define#

在一个图的子图中，任意两个点相互可达，也就是存在互通的路径，那么这个子图就是强连通分量。（如果一个有向图的任意两个点相互可达，那么这个图就称为强连通图）。

【性质】

如果u是某个强连通分量的根，那么：

（1）u不存在路径可以返回到它的祖先。

（2）u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先。

【算法描述】

（1）我们先对每一个顶点判断，如果已经被运行过了，则不动，否则进行拓展

（2）对于每一个点，我们设2个值来表示（dfn和low){low[i]表示结点i的根结点的dfn值}，dfn则是结点i的时间戳

（3）在第一次顺序遍历时，dfn[u]=low[u]=++cnt，初始化序列

（4）然后将遍历到的点压入栈，并且置为已做过

（5）在整个图中枚举一条以u为右端点的边(from,to)，然后判断左端点是否已经入栈，如果已经入栈，则修改low[u]:low[u]=max(low[u],dfn(to))，如果没入栈，则对其进行递归处理，返回时low[u]=min(low[u],low[to])

（6）当出现dfn[u]==low[u]时，则表明已经出现一个强联通分量，依次弹出并消除标记即可，此时cnt++，则该作用为统计联通块数量

【总结】

上述算法时间复杂度O(N+M)

【例题】

codevs2822《爱在心中》

很明显，对于题目的第一问，我们只需要将给出的关系图跑一遍裸的tarjan即可

然而第二问显然就不是那么简单了，题目要求我们找出容量为n-1的联通块，这里要注意：

不能直接计算，因为你的图已经被第一问毁了。所以要再次构图

然后统计每个点的“爸爸”以及每个点的强联通分量个数

再寻找为n的即可，然后依次输出

时间复杂度O(4N+M)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;const int MaxN=1001;int s[MaxN],top;
int n,m;
int ans;//联通块个数
int dfn[MaxN],low[MaxN];
bool vis[MaxN],inq[MaxN];
int belong[MaxN];
int head[MaxN],hav[MaxN],h[MaxN];struct graph{int to,next;
}G[MaxN],R[MaxN];int cnt1=0,cnt2=0;inline int minx(int a,int b){return a<b?a:b;}void addedge(int u,int v){G[++cnt1].to=v;G[cnt1].next=head[u];head[u]=cnt1;
}void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++cnt2;s[++top]=u;vis[u]=inq[u]=true;for(int i=head[u];i!=0;i=G[i].next){if(!dfn[G[i].to]){tarjan(G[i].to);low[u]=minx(low[u],low[G[i].to]);}else if(inq[G[i].to])low[u]=minx(low[u],dfn[G[i].to]);}if(dfn[u]==low[u]){ans++;int j=0;while(j!=u){j=s[top--];inq[j]=false;belong[j]=ans;++hav[ans];}}
}void rebuild(){int i,j,cnt=0;for(i=1;i<=n;i++)for(j=head[i];j!=0;j=G[j].next)if(belong[G[j].to]!=belong[i]){R[++cnt].to=belong[G[j].to];R[cnt].next=h[belong[i]];h[belong[i]]=cnt;}
}
void work(){int i,ans1=0;for(i=1;i<=n;i++){if(!vis[i])tarjan(i);}rebuild();for(i=1;i<=ans;i++)if(hav[i]>1)ans1++;printf("%d\n",ans1);ans1=-1;for(i=1;i<=ans;i++)if(!h[i]){if(ans1!=-1 || hav[i]==1){ans1=-1;break;}elseans1=i;}if(ans1==-1)printf("%d",ans1);else {for(i=1;i<=n;i++)if(belong[i]==ans1)printf("%d ",i);}
}int main(){scanf("%d %d",&n,&m);int i,u,v;memset(vis,false,sizeof(vis)); for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d",&u,&v);addedge(u,v);}work();return 0;
}

-----------------------------------------thanks for watching------------------------------------------