【定义】

给定一棵树，树中的每条边都有一个权值。

树中两点的距离：连接两点的路径边权之和
树的直径：树中最远的两个节点之间的距离
树的最长链：连接树中最远的两个结点的路径

【实现】

树的直径通常有两种求法，时间复杂度均为O(n)。

假设树以 n 个点 n-1 条边的无向图形式给出，存储在邻接表中。

1.两次DFS求树的直径

通过两次 dfs 可以求树的直径，且更容易计算出直径上的具体结点

从任意结点出发，通过 dfs 对树进行一次遍历，求出于出发点距离最远的结点，记为 st
从结点 st 出发，通过 dfs 对树再进行一次遍历，求出于 st 距离最远的结点，记为 ed

则：st 到 ed 的路径就是树的直径

在第 2 步的遍历中，可以记录下来每个点第一次被访问的前驱节点，最后从 q 递归到 p，即可得到直径的具体方案

struct Edge {int to, val;int next;Edge(){}Edge(int to,int val,int next):to(to),val(val),next(next){}
} edge[N];
int n;
int head[N], tot;
int dis[N], maxx, id;
int st, ed, diameter;//起点、终点、直径
int disSt[N], disEd[N];//起点、终点分别到每个点的距离
void addEdge(int from, int to, int val) {edge[++tot].to = to;edge[tot].val = val;edge[tot].next = head[from];head[from] = tot;
}
void dfs(int x, int father) {for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int y = edge[i].to;int val = edge[i].val;if (y == father)continue;dis[y] = dis[x] + val;if(dis[y]>maxx){maxx = dis[y];id = y;}dfs(y, x);}
}
void calcDiameter(){//第一遍dfsmaxx = 0;id = 1;dfs(1, 0);st = id;//第二遍dfsmaxx = 0;dis[st] = 0;dfs(st, 0);ed = id;diameter = maxx; //树的直径for (int i = 1; i <= n; i++)disSt[i] = dis[i];dis[ed] = 0;dfs(ed, 0);for (int i = 1; i <= n; i++)disEd[i] = dis[i];
}int main() {scanf("%d", &n);memset(head, -1, sizeof(head));for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {int x, y, val;scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);addEdge(x, y, val);addEdge(y, x, val);}calcDiameter();printf("%d %d\n", st, ed);printf("%d\n", diameter);return 0;
}

2.树形DP求树的直径

设 1 号节点为根，n 个点 n-1 条边的无向图就可以看做有根树

设 dis1[x] 表示从点 x 到以 x 为根的子树中叶结点的最长链， pos1[x] 表示 dis1[x] 在哪个点更新；dis2[x] 表示从点 x 到以 x 为根的子树中叶结点的次长链，pos2[x] 表示 dis2[x] 在哪个点更新，且要求两条链不能有交集。

这样一来，对于任意一点 i，经过点 i 的最长链的分为两个部分：i 的最长链 dis1[i]、i 的次长链 dis2[i]

那么，整棵树的直径就是 $diameter=max(diameter,dis1[i]+dis2[i])$

struct Edge {int to, val;int next;Edge(){}Edge(int to,int val,int next):to(to),val(val),next(next){}
} edge[N];
int n;
int head[N], tot;
int dis1[N], dis2[N];//分别维护第i个点的最长链、次长链
int pos1[N],pos2[N];//分别维护dis1[i]、dis2[i]从哪个点更新
void addEdge(int from, int to, int val) {edge[++tot].to = to;edge[tot].val = val;edge[tot].next = head[from];head[from] = tot;
}
void dfs(int x, int father) {for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int y = edge[i].to;int val = edge[i].val;if (y == father)continue;dfs(y, x);if (dis1[y] + val > dis1[x]) {dis2[x] = dis1[x];dis1[x] = dis1[y] + val;pos2[x] = pos1[x];pos1[x] = y;} else if (dis1[y] + val > dis2[x]) {dis2[x] = dis1[y] + val;pos2[x] = y;}}
}
int main() {scanf("%d", &n);memset(head, -1, sizeof(head));for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {int x, y, val;scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);addEdge(x, y, val);addEdge(y, x, val);}dfs(1, 0);int diameter = -INF;for (int i = 1; i <= n; i++)diameter = max(dis1[i] + dis2[i], diameter);printf("%d", diameter);return 0;
}

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