剑指Offer：剪绳子(动态规划、贪婪算法)

问题描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入描述:
输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）
输出描述:
输出答案。

示例1
输入 8
输出 18

解题思路

本题有几个 可使用动态规划算法的明显特征：
（1）是求最优解问题，如最大值，最小值；
（2）该问题能够分解成若干个子问题，并且子问题之间有重叠的更小子问题。

通常按照如下 4 个步骤来 设计一个动态规划算法：
（1）刻画一个最优解的结构特征；
（2）递归地定义最优解的值；
（3）计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；
（4）利用计算出的信息构造一个最优解。

以此题为例，

设长度为 n 的绳子剪切后的最大乘积为 f(n)，

我们可以将问题看成两个子问题，即 f(n) = max(f(j)*f(n-j)) ，j 属于 (1, 2, …, n/2)

也就是说，我们要求 f(n)，就只要求将 n 分成 n 、n-j 里面的最优分解就行了。

为什么 j 的边界是 n/2 呢？ --> 因为将一个数分成两个数，最大的就是 n/2

**假设 n 为 11，**第一刀之后分为了 4-7，而 7 也可能再分成 1-5（7 的最大是 3-4，但过程中还是要比较 1-5 这种情况的），而上一步 4-7 中也需要求长度为 4 的问题的最大值。

可见，各个子问题之间是有重叠的，所以可以先计算小问题，存储下每个小问题的结果，逐步往上，求得大问题的最优解。

Java 代码（动态规划）

import java.lang.*;public class Solution {public int cutRope(int target) {if (target < 2) {return 0;}if (target == 2) {return 1;}if (target == 3) {return 2;}// ropes[i]表示剪i次时的最大乘积int[] ropes = new int[target + 1];ropes[1] = 1;ropes[2] = 2;ropes[3] = 3;int temp = 0;for (int i = 4; i <= target; i++) {int max = 0;// f(i) = max(f(j)*f(n-j)), j属于(1,2,...,n/2)for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {temp = ropes[j] * ropes[i - j];max = Math.max(temp, max);}ropes[i] = max;}return ropes[target];}
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n^2)。
空间复杂度：O(n)。

Java 代码（贪婪算法）

另解（使用贪婪算法）：

当 n<5 时，与动态规划的处理一致；

当n>=5时，尽可能多地剪长度为 3 的绳子，当剩下的绳子长度为 4 时，剪成 2-2；

例如：长度为 10 的绳子，剪成 3-3-2-2

public int maxProductAfterCutting(int length) {if (length < 2) {return 0;}if (length == 2) {return 1;}if (length == 3) {return 2;}// 尽可能多地剪去长度为3的绳子段int timesOf3 = length / 3;// 当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段// 此时更好的方法是把绳子剪成长度为2的两段，因为2x2>3x1if (length - timesOf3 * 3 == 1) {timesOf3 -= 1;}int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(1)。
空间复杂度：O(1)。

虽然贪婪算法的时间复杂度低，但面试官一般都会要求证明

数学证明：

https://www.jianshu.com/p/0a13e48aa4af