利用矩阵快速幂求斐波那契数列

我们知道如果用记忆化搜索逐项递推可以将复杂度降低到O（n）,但是对于更大规模的输入，这个算法效率还是不够高，那么我们考虑更高效的算法：

二阶递推：f(n+2)=(1 1) f(n+1)

f(n+1) (1 0) f(n)

上面等式两边分别是矩阵，那么矩阵A就是等式右边第一个式子。

只要求出A的n次，就可以求出f(n)。我们使用快速幂来求，这个算法的复杂度为O（logn）

#include <iostream>
#include <cstddef>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=10000;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;
mat mul(mat &a,mat &b){mat c(a.size(),vec(b[0].size()));for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){for(int k=0;k<2;k++){c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];//c[i][j]%=mod;}}}return c;
}
mat pow(mat a,ll n){mat res(a.size(),vec(a.size()));for(int i=0;i<a.size();i++)res[i][i]=1;while(n>0){if(n&1){res=mul(res,a);n-=1;}else{a=mul(a,a);n/=2;}}return res;
}
ll solve(ll n){mat a(2,vec(2));a[0][0]=1;a[0][1]=1;a[1][0]=1;a[1][1]=0;a=pow(a,n);return a[1][0];
}int main(){ll n;while(cin>>n){cout<<solve(n)<<endl;}return 0;
}

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