2020CCPC(长春) - Strange Memory(树上启发式合并+位运算)

题目大意：给出一棵 n 个点组成的有根树，一号节点是根节点，现在要求实现 n * n 的公式： $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}[a_i \oplus a_j =a_{lca(i,j)}](i \oplus j)$

题目分析：树上启发式合并，需要修改部分内部实现，如果可以想到树启的话，那么应该往子树上去靠拢，当每个点作为子树的根时，其可以作为 lca 然后去统计子树中可以匹配的 ( u , v ) 点对，这个题目因为 a[ i ] ！= 0，换句话说，点 u , v , lca( u , v ) 一定是互不相同的三个点，极大程度上简化了题目（因为三个点的形式一定是一个分叉的形状，不可能是链状的），换句话说，当 lca 确定后，可以枚举每个点作为点 u，然后去统计“除了点 u 到点 lca 的这条路径上的点之外，以 lca 为根节点的子树中，所有 a[ v ] = a[ u ] ^ a[ lca ] 的点 v，然后对 v^u 加和”，但如果每个点都去枚举的话，那么时间复杂度将会是 n * n 级别的，又因为如果每个点都枚举一遍的话，换句话说对于一个有贡献的 ( u , v ) 点对来说，点 u 和点 v 都会被枚举一遍从而形成了浪费

再考虑树启是关于轻重链剖分的，然后访问轻链的次数是 O( logn ) 级别的，因此可以只枚举轻链上的点的贡献，然后去寻找满足条件的点与其匹配即可，这样时间复杂度就下降到了 nlogn，具体实现就是，对于某一条轻链来说，先维护其贡献，然后再将其下标更新到数据结构中维护

下面讲该如何实现，首先上面简化的模型已经足够可以完成公式 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}[a_i \oplus a_j =a_{lca(i,j)}]$ ，但本题实际上是要求记录下标的异或和，比赛时没有多想，直接对每个权值维护了一个 set，用于记录当前权值下有多少个下标，维护答案的时候暴力枚举即可，本以为时间复杂度是 nlog^2n 的，TLE 的原因是因为 set 的那一层 log，于是想到每次增加和删除都是连续的一段，将 set 换成了 vector 便轻松将时间复杂度控制到了 nlogn 级别，交上去也真的 AC 了，赛后和潘学长还有zx学长讨论过后才发现，自己实际上写了个假算法。。因为如果暴力去维护下标的话，时间复杂度其实是 O( k * n * logn )，这里的 k 是，整棵树中出现次数最多的数字的出现次数，如果整棵树都是同一个数字的话，那么时间复杂度将退化成 O( n * n * logn ) 级别的。。然鹅感谢出题人，卑微菜鸡在这里给你磕头了，咚咚咚，多谢出题人没有刻意去卡这种数据，导致在随机数据下，常数 k 好像很小很小，甚至比 std 跑的还快。。

然后讲一下正解吧，因为我们需要维护的是下标的异或和，而对于异或而言，非常重要的一个性质就是，拆位之后每一位都相互独立，所以我们不妨对于下标的每一位都单独跑一次树启，最后将答案加和即可，对于某一位来说，假设 u == 1，对于匹配到的 v 来说，只有 v == 0 的位置才具有贡献，对于 u == 0 而言，同理只有 v == 1 才有贡献，所以类比于上一段的思路，对于每个权值 val 来说，上一段的做法维护的是一个 vector，里面储存着 a[ x ] == val 的 x，也就是下标，而本段的思路是，对于每个权值 val 来说，记录一下所有下标，在二进制下第 i 位中共出现了多少个 0 和多少个 1，只是换了一下实现思路而已，这样实现的时间复杂度是严格 O( nlogn * 20 ) 的，20 的意思是需要将下标拆成 20 位，因为 2^20 > 1e6 >= a[ i ]

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;vector<int>node[N],temp;bool vis[N];int deep[N],num[N],son[N],a[N];int cnt[(1<<20)+100][25][2];//拆位LL ans;void update(int id,int val)
{for(int i=0;i<20;i++)cnt[a[id]][i][(id>>i)&1]+=val;
}LL search(int id,int num)
{LL ans=0;for(int i=0;i<20;i++)ans+=cnt[num][i][!((id>>i)&1)]*(1<<i);return ans;
}void dfs_son(int u,int fa,int dep)
{deep[u]=dep;son[u]=-1;num[u]=1;for(auto v:node[u]){if(v==fa)continue;dfs_son(v,u,dep+1);num[u]+=num[v];if(son[u]==-1||num[v]>num[son[u]])son[u]=v;}
}void cal(int u,int fa,int lca)
{temp.push_back(u);ans+=search(u,a[u]^a[lca]);for(auto v:node[u]){if(v==fa||vis[v])continue;cal(v,u,lca);}
}void del(int u,int fa)
{update(u,-1);for(auto v:node[u]){if(v==fa||vis[v])continue;del(v,u);}
}void dfs(int u,int fa,int keep)
{for(auto v:node[u]){if(v==fa||v==son[u])continue;dfs(v,u,0);}if(son[u]!=-1){dfs(son[u],u,1);vis[son[u]]=true;}update(u,1);for(auto v:node[u]){if(v==fa||vis[v])continue;cal(v,u,u);for(auto it:temp)update(it,1);temp.clear();}if(son[u]!=-1)vis[son[u]]=false;if(!keep)del(u,fa);
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);node[u].push_back(v);node[v].push_back(u);}dfs_son(1,-1,0);dfs(1,-1,1);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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