2019 ICPC 南昌 K. Tree（树上启发式合并，平衡树 treap）

整理的算法模板合集： ACM模板

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题目链接

https://nanti.jisuanke.com/t/42586

Problem

给定一个 nnn 个点的树，以及参数 kkk，树上每个点均有一个权值 vali\mathrm{val}_ivali。

询问树上有序对 (x,y)(x,y)(x,y) 的数量，满足以下条件：

xxx 不等于 yyy
xxx 不是 yyy 的祖先
yyy 不是 xxx 的祖先
xxx 和 yyy 之间的距离不超过 kkk
valx+valy=2×vallca(x,y)\mathrm{val}_x+\mathrm{val}_y=2\times \mathrm{val}_{\mathrm{lca}(x,y)}valx+valy=2×vallca(x,y)

n,k≤105n,k\le 10^5n,k≤105，0≤vali≤n0\le \mathrm{val}_i\le n0≤vali≤n。

Solution

树上统计问题，发现问题可以划分成子树的问题，显然考虑树上启发式合并。

树上两点间距离问题考虑分析 lca(x,y)\mathrm{lca}(x,y)lca(x,y)，假设已知 lca(x,y)=z\mathrm{lca}(x,y)=zlca(x,y)=z，考虑统计以 zzz 的为根的子数中，对答案有贡献的点对 (x,y)(x,y)(x,y) 的数量。

我们在树上启发式合并枚举到第 iii 课子树的时候，统计与前 i−1i-1i−1 棵子树之间的贡献即可。

考虑从给定的五个条件出发分析。条件五：valx+valy=2×vallca(x,y)=z\mathrm{val}_x+\mathrm{val}_y=2\times \mathrm{val}_{\mathrm{lca}(x,y)=z}valx+valy=2×vallca(x,y)=z，显然此时 valx\mathrm{val}_xvalx 和 valz\mathrm{val}_{z}valz 都已经确定了，那么我们就可以得到 valy=2×valz−valx\mathrm{val}_y=2\times \mathrm{val}_z-\mathrm{val}_xvaly=2×valz−valx。

考虑条件四， xxx 和 yyy 之间的距离不超过 kkk。我们已经知道了 dxd_xdx 和他们的 lca\mathrm{lca}lca 的深度 dzd_zdz，显然可以得到 dy=k−dx+2×dzd_y=k-d_x+2\times d_zdy=k−dx+2×dz。

综上所述，问题转化为了，求前 i−1i-1i−1 子树中深度不超过 dyd_ydy 且点的权值为 valy\mathrm{val}_yvaly 的点的个数。

考虑 val≤105\mathrm{val}\le 10^5val≤105，可以直接维护权值，对于每一个权值，建一个平衡树，即建立 n+1n+1n+1 棵平衡树，以深度为下标序列，维护该权值的点在每个深度的点的个数。

考虑 dsu 深度最多 log⁡n\log nlogn，开 10510^5105 个平衡树，每个平衡树最多只有 log⁡n\log nlogn 个点，我们只需要维护一个大小为 nlog⁡n=2×106n\log n=2\times 10^6nlogn=2×106 的平衡树即可。

时间复杂度 O(nlog⁡nlog⁡n)O(n\log n \log n)O(nlognlogn)

调了一个小时才A，真的蚌埠住了

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 7, maxm = 1e7 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;ll ans;
int val[maxn];
int root[maxn];
int deep[maxn];namespace treap
{ struct node{int l, r; int key; int val; int cnt; int size; }tr[maxm];int root, idx;void pushup(int p){tr[p].size = tr[tr[p].l].size + tr[tr[p].r].size + tr[p].cnt;}int get_node(int key){tr[ ++ idx].key = key;tr[idx].val = rand(); tr[idx].cnt = tr[idx].size = 1;return idx;}void zig(int &p){//右旋int q = tr[p].l;tr[p].l = tr[q].r;tr[q].r = p, p = q;pushup(tr[p].r), pushup(p);}void zag(int &p){//左旋int q = tr[p].r;tr[p].r = tr[q].l;tr[q].l = p, p = q;pushup(tr[p].l), pushup(p);}void my_insert(int &p, int key){if(!p) p = get_node(key); else if(tr[p].key == key) tr[p].cnt ++ ;else if(tr[p].key > key){ my_insert(tr[p].l, key);if(tr[tr[p].l].val > tr[p].val)zig(p);}else { my_insert(tr[p].r, key);if(tr[tr[p].r].val > tr[p].val) zag(p);}pushup(p);}void my_delet_one(int &p, int key){ if(!p) return ;if(tr[p].key == key){ if(tr[p].cnt > 1) tr[p].cnt -- ;else if(tr[p].l || tr[p].r){if(!tr[p].r || tr[tr[p].l].val > tr[tr[p].r].val){ zig(p);my_delet_one(tr[p].r, key);}else {zag(p);my_delet_one(tr[p].l, key);}}else p = 0; }else if(tr[p].key > key) my_delet_one(tr[p].l, key); else my_delet_one(tr[p].r, key); pushup(p); }int get_rank_by_key(int p, int key){if(!p) return 0;if(tr[p].key == key) return tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt;if(tr[p].key > key)return get_rank_by_key(tr[p].l, key);return tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt + get_rank_by_key(tr[p].r, key);}int get_key_by_rank(int p, int rank){if(!p) return 0;if(tr[tr[p].l].size >= rank) return get_key_by_rank(tr[p].l, rank);if(tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt > rank) return tr[p].key;return get_key_by_rank(tr[p].r, rank - tr[tr[p].l].size - tr[p].cnt);  }
}int n, m, s, t, k;
int head[maxn], ver[maxn << 1], edge[maxn << 1], nex[maxn << 1], tot;
int siz[maxn], h_son[maxn];
int p[maxn];void add(int x, int y)
{ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void cal(int x, int z, int depth)
{int vy = 2 * val[z] - val[x];int maxdepth = min(n, k - deep[x] + 2 * depth);if(vy >= 0 && vy <= n && maxdepth >= 1) {int res = treap :: get_rank_by_key(root[vy], maxdepth); ans += res;}for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];cal(y, z, depth);}
}void add_node(int x, int z)
{treap :: my_insert(root[val[x]], deep[x]);for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];add_node(y, z);}
}void delet_node(int x)
{treap :: my_delet_one(root[val[x]], deep[x]);for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];delet_node(y);}
}void dfs1(int x, int fa)
{siz[x] = 1;int h_son_siz = -1, son = -1;for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];if(y == fa) continue;deep[y] = deep[x] + 1;dfs1(y, x);siz[x] += siz[y];if(siz[y] > h_son_siz) {h_son_siz = siz[y], son = y;}}if(son != -1)h_son[x] = son;
}void dsu_on_tree(int x, int fa)
{for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];if(y != h_son[x]) {dsu_on_tree(y, x);delet_node(y);}}if(h_son[x])dsu_on_tree(h_son[x], x); for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];if(y != h_son[x]) {cal(y, x, deep[x]);add_node(y, x);}}treap :: my_insert(root[val[x]], deep[x]);
}int main()
{memset(head, -1, sizeof head); scanf("%d%d", &n, &k);for (int i = 1; i <= n; ++ i)scanf("%d", &val[i]);for (int i = 2; i <= n; ++ i) {int u;scanf("%d", &u);add(u, i);//, add(i, u);}deep[1] = 1;dfs1(1, -1);dsu_on_tree(1, -1);printf("%lld\n", ans * 2);return 0;
}

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