O(nlogn) 求LIS(Longest Increasing Subsequence)方法的总结

前几天做题遇到求LIS的题，照常用dp去做结果超时了。之后就去网上找了O（nlogn）的方法。因为看了好几个博客我才看懂，所以这里我进行下总结。

首先第一种写法：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

在理解第一种写法的基础上看第二种写法：

数组array：1 3 4 9 15 2 3 9

第0次：处理array[0]

数组f：0

数组pre：-1

第1次：处理array[1]

数组f：0 1

数组pre：-1 0

第2次：处理array[2]

数组f：0 1 2

数组pre：-1 0 1

第3次：处理array[3]

数组f：0 1 2 3

数组pre：-1 0 1 2

第4次：处理array[4]

数组f：0 1 2 3 4

数组pre：-1 0 1 2 3

第5次：处理array[5]

数组f：0 5 2 3 4

数组pre：-1 0 1 2 3 0

第6次：处理array[6]

数组f：0 5 6 3 4

数组pre：-1 0 1 2 3 0 5

第7次：处理array[7]

数组f：0 5 6 7 4

数组pre：-1 0 1 2 3 0 5 6

数组f的最后位置的内容为最长子序列值的末尾值的在array中的下标，以此为起点来重构出子序列。

通过观察很容易发现第一种写法的B数组直接存储数，而第二种写法的F数组存储的是下标，当然第一种好写但是如果要输出找到的LIS则必须用第二种。

而第二种写法中的pre数组存储的就是每个数的前接数下标。

例题及代码：HDU - 3998 Sequence

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