如何将一个向量投影到一个平面上_代数与几何的初次相会—

写在前面

初次见面，请多多关照——阿拉丁

平面向量基本定理

在上一节中我们吐槽了向量的名字，这一节我们就要来考虑向量的好朋友——数形结合。

平面内任何向量改如何表示？我们知道在我们熟悉的自然数里1作为一个特殊的存在可以衍生出任何数，那么在向量领域是否也有这样一个特殊向量可以表示任何数呢？

平面向量基本定理：如果

是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任意向量

，有且只有一对实数

，使得

我们将

叫做这一平面内所有向量的

基底

一般的，我们选取坐标轴单位长度为1的单位向量作为基底，如图：

坐标表示

在坐标轴上考虑向量问题最好的性质就是可以利用坐标将几何问题转化为代数运算。那么如何将向量转化为坐标呢？

我们在物理上学过正交分解，实际上对于向量的坐标化也是一种正交分解

对于平面内任何一个向量都可以表示为

其中

为与

轴方向相同的单位向量。

由此我们可以看出

可以表示为

也就是由该向量向两个基底分别投影的长度。

平面向量的坐标运算

我们可以用坐标表示那当然就需要用代数来进行运算，阿拉丁给大家总结出以下几条规律： - 两个向量和（差）的坐标分别等于两个向量响应坐标的和（差）

实数与向量积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标

对于一般的向量，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标

平面向量的数量积

我们在数乘的时候了解了实数与向量的乘积依旧是个向量，那么有些同学就可能会问如果是向量与向量相乘会是什么样的呢？

这样的乘法形式有两种，但是高中阶段只需要掌握一种：数量积（内积）

其实非常好理解，看下图的解释就可以很直观的看出来：

我们将数量积记做：

其中

为两个向量的夹角。由图像我们也可以得到这是

向量

在

上的投影长度与

长度的乘积

那么我们看到这是两个数相乘，那结果也肯定是一个数字。因此我们得到结论： - 向量的数量积结果是一个数字

那么根据今天所讲述的坐标表示，我们该如何将数量积转化为坐标运算呢？

其实也非常简单，就是将对应坐标相乘在相加就可以了：

即：

我们通过坐标可以表示出数量积以后考虑最后一个问题，我们在算出数量积以后那么两个向量的夹角的余弦值也就可以算出来了。

后记

本节内容虽然是新内容和前面的内容没有多大关系，但是十分简单，只要掌握了所谓的数形结合，做题一定没有问题。

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