《信号与系统》—MATLAB分析与实现（二）
1.3信号的基本运算
（Matlab实现见1.5）
加法和乘法：信号相加是指同一瞬间两信号对应值相加，信号相乘是指同一瞬间两信号对应值相乘；离散信号是指序列号相同
函数在任意时刻t的导数就是函数在该时刻的斜率，函数在任意时刻t的积分就是到该时刻函数所覆盖的面积，积分运算和微分运算主要用于信号波形变换（积分运算：矩形脉冲波转换为锯齿波或者三角波，微分运算：矩形波转换为尖脉冲波）
奇对称，偶对称：高中知识，任意实函数可分解为奇函数与偶函数之和
共轭偶对称复数函数：设f(t)是复数函数，若满足f(t)=f∗(−t)f\left( t \right) =f^*\left( -t \right) f(t)=f∗(−t)
则称f(t)为共轭偶对称复数函数，实质：实部是偶函数，虚部是奇函数；模是偶函数，相位是奇函数
共轭奇对称：设f(t)是复数函数，若满足f(t)=−f∗(−t)f\left( t \right) =-f^*\left( -t \right) f(t)=−f∗(−t)则称f(t)为共轭奇对称复数函数，实质：实部是奇函数，虚部是偶函数信号的时间变换：反折、平移、展缩，混合变换时一般先平移再展缩
1.4奇异信号单位阶跃函数ε(t)、延迟单元阶跃函数ε(t-t0)
单位矩形函数rect(t)={1,∣t∣<1/20,∣t∣>1/2=ε(t+12)−ε(t−12)rect\left( t \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1,|t|<1/2\\ 0,|t|>1/2\\ \end{array}=\varepsilon \left( t+\frac{1}{2} \right) \right. -\varepsilon \left( t-\frac{1}{2} \right) rect(t)={1,∣t∣<1/20,∣t∣>1/2=ε(t+21)−ε(t−21)
单位斜坡函数ramp(t)=∫−∞tε(τ)dτ=tε(t)ramp\left( t \right) =\int_{-\infty}^t{\varepsilon \left( \tau \right) d\tau =t\varepsilon \left( t \right)} ramp(t)=∫−∞tε(τ)dτ=tε(t)
单位冲激函数：积分是阶跃函数，阶跃函数的导数为冲激函数
性质：
（1）相加性质aδ(t)+bδ(t)=(a+b)δ(t)a\delta \left( t \right) +b\delta \left( t \right) =\left( a+b \right) \delta \left( t \right) aδ(t)+bδ(t)=(a+b)δ(t)（2）相乘性质f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f\left( t \right) \delta \left( t \right) =f\left( 0 \right) \delta \left( t \right) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)f\left( t \right) \delta \left( t-t_0 \right) =f\left( t_0 \right) \delta \left( t-t_0 \right) f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)（3）取样性质∫−∞∞f(t)δ(t)dt=f(0)\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta \left( t \right) dt=f\left( 0 \right)} ∫−∞∞f(t)δ(t)dt=f(0)∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta \left( t-t_0 \right) dt=f\left( t_0 \right)} ∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)（4）冲激函数是偶函数
（5）尺度变换性质δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta \left( at \right) =\frac{1}{|a|}\delta \left( t \right) δ(at)=∣a∣1δ(t)（6）微积分性质：与ε(t)的关系
（7）冲激函数的复合性质
阶跃复合函数ε[f(t)]的定义为：当f(t)>=0时，则ε[f(t)]=1;当f(t)<=0时，则ε[f(t)]=0
通过对阶跃复合函数ε[f(t)]求导得到冲击复合函数δ[f(t)]，即
因为ddt{ε[f(t)]}=δ[f(t)]df(t)dt，\frac{d}{dt}\left\{ \varepsilon \left[ f\left( t \right) \right] \right\} =\delta \left[ f\left( t \right) \right] \frac{df\left( t \right)}{dt}， dtd{ε[f(t)]}=δ[f(t)]dtdf(t)，所以ddt{ε[f(t)]}=δ[f(t)]df(t)dt\frac{d}{dt}\left\{ \varepsilon \left[ f\left( t \right) \right] \right\} =\delta \left[ f\left( t \right) \right] \frac{df\left( t \right)}{dt} dtd{ε[f(t)]}=δ[f(t)]dtdf(t)例题：已知f(t)=t^2-4，求δ[f(t)]
解：根据f(t)的图可以看出，ε[f(t)]=ε(t2−4)=1−ε(t+2)+ε(t−2)\varepsilon \left[ f\left( t \right) \right] =\varepsilon \left( t^2-4 \right) =1-\varepsilon \left( t+2 \right) +\varepsilon \left( t-2 \right) ε[f(t)]=ε(t2−4)=1−ε(t+2)+ε(t−2)所以δ(t2−4)=12tddt[ε(t2−4)]=12t[−δ(t+2)+δ(t−2)]\delta \left( t^2-4 \right) =\frac{1}{2t}\frac{d}{dt}\left[ \varepsilon \left( t^2-4 \right) \right] =\frac{1}{2t}\left[ -\delta \left( t+2 \right) +\delta \left( t-2 \right) \right] δ(t2−4)=2t1dtd[ε(t2−4)]=2t1[−δ(t+2)+δ(t−2)] =−12×(−2)δ(t+2)+12×2δ(t−2)=14δ(t+2)+14δ(t−2)=-\frac{1}{2\times \left( -2 \right)}\delta \left( t+2 \right) +\frac{1}{2\times 2}\delta \left( t-2 \right) =\frac{1}{4}\delta \left( t+2 \right) +\frac{1}{4}\delta \left( t-2 \right) =−2×(−2)1δ(t+2)+2×21δ(t−2)=41δ(t+2)+41δ(t−2)冲击偶
单位梳妆函数：δT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nT)\delta _T\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta \left( t-nT \right)} δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)取样特性：f(t)δT(t)=∑n=−∞∞f(t)δ(t−nT)=fs(t)=f(nT)=f(n)f\left( t \right) \delta _T\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta \left( t-nT \right) =f_s\left( t \right) =f\left( nT \right) =f\left( n \right)} f(t)δT(t)=n=−∞∑∞f(t)δ(t−nT)=fs(t)=f(nT)=f(n)∫−∞∞f(t)δT(t)dt=∑n=−∞∞f(nT)=∑n=−∞∞f(n)\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta _T\left( t \right) dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{f\left( nT \right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{f\left( n \right)}} ∫−∞∞f(t)δT(t)dt=n=−∞∑∞f(nT)=n=−∞∑∞f(n)第二个式子结果为所有取样值之和
连续函数与梳妆函数相乘，结果是一个强度为f(nT)的脉冲序列，连续函数变成了离散函数，从而实现了对连续函数的取样
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