第十五章动态规划（最优二叉搜索树）

第15章动态规划（最优二叉搜索树）

15.5 最优二叉搜索树
15.5 练习
- 15.5-1
- 15.5-2
- 15.5-3
- 15.5-4

说在前面的话：

为什么单独拿出来发？
1.由于排版篇幅问题，放一起太长没人愿意看吧。
2.单纯想增加投稿数量。（毕竟今天都没怎么发过文）

15.5 最优二叉搜索树

最优二叉搜索树的问题的形式可以定义如下：给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=<K₁,K₂,…,K_n>(因此k₁<k₂…<k_n)，我们希望用这些关键字构造一棵二叉树搜索树。对每个关键字k_i，都有一个概率p_i表示其搜索频率。**有些搜索值可能不在K中，因此我们还要有n+1个“伪关键字”d₀,d₁,d₂,…,d_n表示不在K中的值。**对每个伪关键字d_i，也都有一个概率q_i表示对应的搜索频率。

搜索概率如下表：

i	0	1	2	3	4	5
p_i	/	0.15	0.10	0.05	0.10	0.20
q_i	0.05	0.10	0.05	0.05	0.05	0.10

如图显示了对于n=5个关键字的集合构造的两颗二叉搜索树。每个关键字k_i是一个内部结点，而每个伪关键字d_i是一个叶结点。每次搜索要么成功（找到关键字k_i）要么失败（找到伪关键字d_i），因此有如下公式：
∑i=1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1∑n p_i + ∑i=0n\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i=0∑n q_i = 1

由于我们知道每个关键字和伪关键字的搜索概率，因而可以确定在一棵给定的二叉搜索树T中进行一次搜索的期望代价。假定一次搜索的代价等于访问的结点数，即此次搜索找到的结点在T中的深度再加1.那么在T中进行亿次搜索的期望代价为：
E[T中搜索代价] = ∑i=1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1∑n (depth_T(k_i) + 1) * p_i + ∑i=0n\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i=0∑n(depth_T(d_i) + 1) * q_i
= 1 + ∑i=1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1∑n (depth_T(k_i) ) * p_i + ∑i=0n\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i=0∑n(depth_T(d_i) ) * q_i
其中depth_T表示一个结点在树T中的深度。

对于一个给定的概率集合，我们希望构造一课期望搜索代价最小的二叉搜索树，我们成为最优二叉搜索树。上图右边所示的二叉搜索树就是给定概率集合的最优二叉搜索树，其期望代价为2.75。

代码如下：

   public class Program{public static void Main(string[] args){var handle = new OPTIMALBST_Handle();handle.optimal_bst();}}public class OPTIMALBST_Handle{public decimal[] p { get; set; }public decimal[] q { get; set; }public int amount { get; set; }public decimal[,] w { get; set; }public decimal[,] e { get; set; }public int[,] root { get; set; }public OPTIMALBST_Handle(){Console.WriteLine("请输入结点数:\r");amount = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());p = new decimal[amount + 1];q = new decimal[amount + 1];w = new decimal[amount + 2, amount + 1];e = new decimal[amount + 2, amount + 1];root = new int[amount + 1, amount + 1];for (var i = 1; i <= amount; i++){Console.WriteLine("关键字k" + i + "的概率为:\r");p[i] = Convert.ToDecimal(Console.ReadLine());}for (var i = 0; i <= amount; i++){Console.WriteLine("伪关键字d" + i + "的概率为:\r");q[i] = Convert.ToDecimal(Console.ReadLine());}}public void optimal_bst(){for (var i = 1; i <= amount + 1; i++){w[i, i - 1] = q[i - 1];e[i, i - 1] = q[i - 1];}for (var l = 1; l <= amount; l++){for (var i = 1; i <= amount - l + 1; i++){var j = i + l - 1;w[i, j] = w[i, j - 1] + p[j] + q[j];e[i, j] = decimal.MaxValue;for (var r = i; r <= j; r++){var temp = e[i, r - 1] + w[i, j] + e[r + 1, j];if (temp < e[i, j]){e[i, j] = temp;root[i, j] = r;}}}}}}

15.5 练习

15.5-1

设计伪代码CONSTRUCT-OPTIMAL-BST(root)，输入为表root，输出是最优二叉搜索树的结构。例如，对图上图中的root表，应输出
k₂为根
k₁为k₂的左孩子
d₀为k₁的左孩子
d₁为k₁的右孩子
k₅为k₂的右孩子
k₄为k₅的左孩子
k₃为k₄的左孩子
d₂为k₃的左孩子
d₃为k₃的右孩子
d₄为k₄的右孩子
d₅为k₅的右孩子
与图(b)中的最优二叉搜索树对应

直接上代码和输出结果，用的是不递归前序遍历二叉树的思路。
结果和上面是一样的，这里就不贴输出内容了，有兴趣可以自己复制代码试一下。当然这里用递归前序遍历二叉树肯定简单明了多了，用不递归去写纯粹是一时兴起。

        public void Construct_optimal_bst(){var s_left = new Stack();var s_right = new Stack();var l = 1;var r = amount;var parent = -1;while (s_left.Count != 0|| r >= l){while (r >= l){if (parent == -1){Console.WriteLine("k" + root[l, r] + "为根");}else if (root[l, r] >= parent){Console.WriteLine("k" + root[l, r] + "为k" + parent + "的右孩子");}else{Console.WriteLine("k" + root[l, r] + "为k" + parent + "的左孩子");}s_left.Push(l);s_right.Push(r);parent = root[l, r];r = parent - 1;if (r == l - 1){Console.WriteLine("d" + r + "为k" + parent + "的左孩子");}}if (s_left.Count != 0 && s_right.Count != 0){l = (int)s_left.Pop();r = (int)s_right.Pop();parent = root[l, r];l = parent + 1;if (r == l - 1){Console.WriteLine("d" + r + "为k" + parent + "的右孩子");}}}}

15.5-2

若7个关键字的概率如下图所示，求其最优二叉搜索树的结构和代价。

i	0	1	2	3	4	5	6	7
p_i	/	0.04	0.06	0.08	0.02	0.10	0.12	0.14
q_i	0.06	0.06	0.06	0.06	0.05	0.05	0.05	0.05

输入题目里面的元素，直接运行代码就能出结果了。

15.5-3

假设OPTIMAL-BST不维护表w[i,j]，而是在第9行利用公式直接计算w(i,j)，然后在第11行使用此值。如此改动会对渐近时间复杂性有何影响？
公式为w(i,j) = ∑i=1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1∑n p_i + ∑i=0n\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i=0∑n q_i
两个总和项都要花费O(n)的时间，因此时间复杂度上升到O(n^3)。

15.5-4

Knuth已经证明，对所有1<=i<=j<=n，存在最优二叉搜索树，其根满足root[i , j-1] <= root[i , j] <= root[i + 1, j]。利用这一特性修改算法OPTIMAL-BST，使得运行时间减少为Θ(n^2)。

非常强的证明，直接简化了我们的递归公式。
后续会直接贴上修改后的代码。