动态规划最优二叉搜索树C语言,【算法导论】动态规划之“最优二叉搜索树”...

详解动态规划之“最优二叉搜索树”

之前两篇分别讲了动态规划的“钢管切割”和“矩阵链乘法”，感觉到了这一篇，也可以算是收官之作了。其实根据前两篇，到这里，也可以进行一些总结的，我们可以找到一些规律性的东西。

所谓动态规划，其实就是解决递归调用中，可能出现重复计算子问题，从而导致耗费大量时间，去做重复劳动的问题。解决思路就是，将重复做过的子问题的结果，先存起来，等之后再需要用到的时候，直接拿过来用，而不需要再去计算。

但是这里还需要注意一些地方：

①要解决的问题，比如“钢管切割”中的长钢管，它的最优化的解，要能够是分解成的子问题的最优化的解的组合。

②如何给出子问题，孙子问题等的最优化解的统一递归调用形式。

③找一个或者几个合适的集合，去保存我们求的子问题的解，或者是划分的方案。比如在钢管切割中，我们使用的一位数组，而到了矩阵链乘法中，我们使用的二维数组。

④采用自顶向下还是自底向上的方案。

一、概述

好，言归正传，来看看最优二叉搜索树。关于二叉搜索树，可以参看之前的两篇文章：二叉树的前中后序非递归遍历实现和二叉搜索树的插入和删除。这里不再赘述。

假如说我们要设计一个程序，来实现英语文本到法语的翻译。我们可以建立一个二叉搜索树，将n个英语残次作为关键字，对应的法语单词作为关联数据。然后我们依次遍历二叉搜索树中每个节点的英文单词，来找到合适的单词进行翻译工作。这里我们肯定是希望这个搜索的时间越少越好，如果只考虑单纯的时间复杂度，我们可以考虑采用红黑树等，来达到搜索时间复杂度为Olg(n)。但是对于英语单词而言，每个单词出现的概率是不一样的，比如"the"等单词。显然的让这类单词越靠近根结点越能减少搜索的时间。而对于某些很少见的单词，则可以让它们远离根结点。

问题来了，假如我们已知n个不同关键字ki以及我们的出现概率p[i]，我们如何来组成这样一颗最优二叉搜索树呢？

查找这棵二叉树的结果不外乎是两种，一种是找到了我们想要的key值，另一种是遍历完整棵树都没有找到我们要的key值，我们将这种没有找到key值也安排一些节点di来表示，那么显然di节点都是叶子节点。称di为伪关键字，对应的概率为q[i]。d0代表所有小于k1的值，dn代表所有大于kn的值，其他的di(1<=i<=n-1)，代表di值位于ki和ki+1之间。因为一次搜索，要么是搜到di，要么是搜到一个ki，所有有：

然后现在我们可以给出搜索一次会搜索到的节点数的一个期望，因为对于二叉树而言，每多一层，则就会多查找一个节点，所以我们可以对每个节点的深度加1，然后乘以该节点的pi，然后将所有节点的结果求和，就可以求出搜索一棵树会搜索到的节点的一个期望：

最优二叉搜索树的定义就是：对于给定的节点key值概率，使得上述期望值最小的二叉搜索树结构。

二、使用动态规划来处理最优二叉搜索树

那么还是那几步：

①首先将问题分成子问题，看看问题的最优是不是子问题也最优的时候可以达成。

可以使用“jianqie -粘贴”法来证明，对于一颗最优二叉搜索树T而言，对于T的一颗子树Ti，假设它包含关键字ki....kj，如果Ti不是最优二叉查找树，那么就意味着存在另一棵包含节点ki...kj的二叉搜索树Tj，使得Tj的搜索期望比Ti的搜索期望低，那么我们可以将Ti从T中“剪切”掉，然后将Tj“粘贴”到原来Ti的位置，这样一来，就发现新生成的树肯定要比原来的树T的搜索期望要低了，这是矛盾的，因为我们原来假设T是一棵最优二叉搜索树。所以可以反证，最优二叉搜索树的子树都是最优二叉搜索树。

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