【算法设计与分析】动态规划：最优二叉搜索树

最优二叉搜索树问题的问题提出是，设S={x1, x2, …, xn}是一个由n个关键字组成的线性有序集，(a0, b1, a1, …, bn, an) 为集合S的存取概率分布，表示有序集S的二叉搜索树利用二叉树的节点存储有序集中的元素。在二叉搜索树中搜索一个元素x。在二叉搜索树的内部结点中找到x的概率为bj；在二叉搜索树的叶结点中确定x的概率为ai。最优二叉搜索树问题要求找出搜索成本最低的二叉搜索树。设n=4，b(1:4)=(3, 3, 1, 1)，a(1:5)=(2, 3, 1, 1, 1)。
1）写出最优二叉搜索树问题最优值递归定义。

2）采用动态规划算法求该最优二叉搜索树，将算法编程实现。

package test;public class today {static int n = 4;//内部结点个数static float[] a = {2, 3, 1, 1, 1} , b = {3, 3, 1, 1};static float[][] m = new float[a.length+1][b.length+1] ,//记录最短平均路长w = new float[a.length+1][b.length+1];//记录w[i][j]，涉及所有a和b相加static int[][] s = new int[a.length+1][b.length+1];//记录根的最优解public static void main(String[] args) {optimalBinarySearchTree(a , b , m , s , w);System.out.println("m:");show(m);System.out.println("s:");show(s);System.out.println("w:");show(w);}
//  最优二叉搜索树public static void optimalBinarySearchTree(float[] a , float[] b ,float[][] m/*记录最短平均路长*/ , int[][] s/*记录根的最优解*/ , float[][] w/*记录w[i][j]，涉及所有a和b相加*/) {for(int i = 0;i <= n;++i)//n指传入有序序列长度{w[i+1][i] = a[i];//w[i+1][i]保存a0到ai的值m[i+1][i] = 0;//全规定为0，图像为对角线}for(int r = 0;r < n;++r)//n个内部结点，n = a.length{for(int i = 1;i <= n-r;++i){int j = i+r;//终值下标，n>=j>=iw[i][j] = w[i][j-1] + a[j] + b[j-1];m[i][j] = m[i][i-1] + m[i+1][j];s[i][j] = i;for(int k = i+1;k <=j;++k)//计算其他子树，然后找到最小那个{float t = m[i][k-1] + m[k+1][j];if(t < m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}m[i][j] += w[i][j];}}}//   展示int型二维数组public static void show(int[][] a){for(int i = 1;i < a.length;++i){for(int j = 0;j < a[i].length;++j){System.out.print(a[i][j]+" ");}System.out.println();}}// 展示float型二维数组public static void show(float[][] a){for(int i = 1;i < a.length;++i){for(int j = 0;j < a[i].length;++j){System.out.print(a[i][j]+" ");}System.out.println();}}
}

运行结果截图：
3）分析算法的时间复杂性。

来自课本《算法基础与实验》

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