基础线性代数知识点总结与回顾（二）：秩与线性相关

2024-05-20 11:05:18

基础线性代数知识点总结与回顾（二）：秩与线性相关

骨骼图

秩

矩阵的秩： 若矩阵的r阶子式不为0，r+1阶子式全为0，则称矩阵的秩为r。

定理：经过初等变换，矩阵的秩不变。

推论

秩的性质：

定理： n元齐次线性方程组 AX=0有非零解等价于r(A)<n。

定理： 矩阵方程 AX=B有非解等价于r(A)=r(A,B) (A和B拼起来)

有解判定：

n元线性方程AX=b:

无解：
唯一解：
∞解：

线性相关

重要定理： 若向量组b1,b2,b3…bt可以由向量组a1,a2,a3…ar线性表示，则：

若向量组b1,b2,b3…bt可以由向量组a1,a2,a3…ar线性表示，且t>r,则b1,b2,b3…bt必线性相关。

若向量组A和向量组B等价，则r(A)=r(B)=r(A,B)。

等价：若向量组A和向量组B可以相互线性表示，则向量组A等价于向量组B。

n个n维向量a1,a2,…,an线性相关，等价于｜a1 a2 … an｜=0

n+1个n维向量必线性相关。
几何意义

a线性相关等价于 a=0
a1,a2线性相关等价于 a1、a2共线
a1,a2,a3线性相关等价于 a1、a2、a3共面

向量的秩：向量组的极大线性无关组中所含的个数r称为向量的秩。

矩阵的秩=矩阵行向量的秩=矩阵列向量的秩

如果齐次方程组的系数矩阵的秩r<n，则齐次方程组有n-r个线性无关的解，且任意一个解都可以由n-r个线性无关的解线性表示。
因此非齐次方程组（r<n）的解为通解+特解。

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