线性代数 | 知识点总结（上）
线性代数知识点总结归纳，参考资料为武汉大学黄正华老师的教学课件。
1. 行列式
1.1 内容小结
行列式的三种变换
- 互换某两行 (列) ; 记作 r i ↔ r j ( c i ↔ c j ) r_i \leftrightarrow r_j\left(c_i \leftrightarrow c_j\right) ri↔rj(ci↔cj).
- 提出某一行(列)的公因子; 记作 r i ÷ k ( c i ÷ k ) r_i \div k\left(c_i \div k\right) ri÷k(ci÷k).
- 把某一行(列)的 k k k 倍加到另一行(列); 记作 r i + k r j ( c i + k c j ) r_i+k r_j\left(c_i+k c_j\right) ri+krj(ci+kcj).
计算行列式最常用的一种方法就是利用变换 r i + k r j r_i+k r_j ri+krj 和 r i ↔ r j r_i \leftrightarrow r_j ri↔rj, 把行列式化为上三角形行列式, 从而 算得行列式的值.
行列式为零的两种情形:
- 两行(列)相同.
- 两行(列)成比例.
行列式的某行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0。
证明：将第 i i i行加到第 j j j行上（行列式值不变），再将行列式按第 j j j行张开，得
D = （ a j 1 + a i 1 ） A j 1 + （ a j 2 + a i 2 ） A j 2 + … + （ a j n + a i n ） A j n = D + （ a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + … + a i n A j n ） \begin{aligned} D &= （a_{j1} + a_{i1}）A_{j1} + （a_{j2} + a_{i2}）A_{j2} + …+ （a_{jn} + a_{in}）A_{jn}\\ &= D + （a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + … + a_{in}A_{jn}） \end{aligned} D=（aj1+ai1）Aj1+（aj2+ai2）Aj2+…+（ajn+ain）Ajn=D+（ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn）
显然上式后面部分为0，得证。D T = D D^T=D DT=D
1.2 常用结论
- 对角行列式
∣ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n . \left|\begin{array}{cccc}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{array}\right|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n . ∣ ∣λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn∣ ∣=λ1λ2⋯λn. - 三角形行列式
∣ a 11 0 0 ⋯ 0 a 21 a 22 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ∣ . \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| . ∣ ∣a11a21⋮an10a22⋮an200⋮an3⋯⋯⋯00⋮ann∣ ∣=a11a22⋯ann=∣ ∣a110⋮0a12a22⋮0⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣ ∣. - 准三角形行列式
∣ a 11 ⋯ a 1 k 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k 0 ⋯ 0 c 11 ⋯ c 1 k b 11 ⋯ b 1 r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c r 1 ⋯ c r k b r 1 ⋯ b r r ∣ = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k ∣ ∣ b 11 ⋯ b 1 r ⋮ ⋮ b r 1 ⋯ b r r ∣ . \left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1 k} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{r 1} & \cdots & c_{r k} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{r 1} & \cdots & b_{r r} \end{array}\right| . ∣ ∣a11⋮ak1c11⋮cr1⋯⋯⋯⋯a1k⋮akkc1k⋮crk0⋮0b11⋮br1⋯⋯⋯⋯0⋮0b1r⋮brr∣ ∣=∣ ∣a11⋮ak1⋯⋯a1k⋮akk∣ ∣∣ ∣b11⋮br1⋯⋯b1r⋮brr∣ ∣.
对角行列式是三角形行列式的特例, 三角形行列式又是准三角形行列式的特例. - 范德蒙德行列式
∣ 1 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 x 3 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 x 3 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ n ⩾ i > j ⩾ 1 ( x i − x j ) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{n \geqslant i>j \geqslant 1}\left(x_i-x_j\right) ∣ ∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−11x3x32⋮x3n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣ ∣=n⩾i>j⩾1∏(xi−xj)
1.3 典型例题
计算 n n n 阶行列式
D n = ∣ x a ⋯ a a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ a a ⋯ x ∣ . D_n=\left|\begin{array}{cccc} x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x \end{array}\right| . Dn=∣ ∣xa⋮aax⋮a⋯⋯⋯aa⋮x∣ ∣.
解:
解法一. 将第一行乘 ( − 1 ) (-1) (−1) 分别加到其余各行, 得
D n = ∣ x a a ⋯ a a − x x − a 0 ⋯ 0 a − x 0 x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a − x 0 0 ⋯ x − a ∣ , D_n=\left|\begin{array}{ccccc} x & a & a & \cdots & a \\ a-x & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ a-x & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a-x & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right|, Dn=∣ ∣xa−xa−x⋮a−xax−a0⋮0a0x−a⋮0⋯⋯⋯⋯a00⋮x−a∣ ∣,
再将各列都加到第一列上, 得
D n = ∣ x + ( n − 1 ) a a a ⋯ a 0 x − a 0 ⋯ 0 0 0 x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ x − a ∣ = ( x + ( n − 1 ) a ) ( x − a ) n − 1 . D_n=\left|\begin{array}{ccccc} x+(n-1) a & a & a & \cdots & a \\ 0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right|=(x+(n-1) a)(x-a)^{n-1} . Dn=∣ ∣x+(n−1)a00⋮0ax−a0⋮0a0x−a⋮0⋯⋯⋯⋯a00⋮x−a∣ ∣=(x+(n−1)a)(x−a)n−1.
解法二. 将各列都加到第一列得
D n = ∣ x + ( n − 1 ) a a ⋯ a x + ( n − 1 ) a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ x + ( n − 1 ) a a ⋯ x ∣ = ( x + ( n − 1 ) a ) ∣ 1 a ⋯ a 1 x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ 1 a ⋯ x ∣ , D_n=\left|\begin{array}{cccc} x+(n-1) a & a & \cdots & a \\ x+(n-1) a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x+(n-1) a & a & \cdots & x \end{array}\right|=(x+(n-1) a)\left|\begin{array}{cccc} 1 & a & \cdots & a \\ 1 & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a & \cdots & x \end{array}\right|, Dn=∣ ∣x+(n−1)ax+(n−1)a⋮x+(n−1)aax⋮a⋯⋯⋯aa⋮x∣ ∣=(x+(n−1)a)∣ ∣11⋮1ax⋮a⋯⋯⋯aa⋮x∣ ∣,
再将第一行乘以 ( − 1 ) (-1) (−1) 分别加到其余各行, 得
D n = ( x + ( n − 1 ) a ) ∣ 1 a a ⋯ a 0 x − a 0 ⋯ 0 0 0 x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ x − a ∣ = ( x + ( n − 1 ) a ) ( x − a ) n − 1 . D_n=(x+(n-1) a)\left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \cdots & a \\ 0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right|=(x+(n-1) a)(x-a)^{n-1} . Dn=(x+(n−1)a)∣ ∣100⋮0ax−a0⋮0a0x−a⋮0⋯⋯⋯⋯a00⋮x−a∣ ∣=(x+(n−1)a)(x−a)n−1.
解法三. 升阶法.
D n = ∣ 1 a a ⋯ a 0 x a ⋯ a 0 a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 a a ⋯ x ∣ ( n + 1 ) × ( n + 1 ) r i − r 1 i = 2 , 3 , ⋯ ∣ 1 a a ⋯ a − 1 x − a 0 ⋯ 0 − 1 0 x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ − 1 0 0 ⋯ x − a ∣ ( n + 1 ) × ( n + 1 ) D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \cdots & a \\ 0 & x & a & \cdots & a \\ 0 & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a & a & \cdots & x \end{array}\right|_{(n+1) \times(n+1)} \quad \frac{r_i-r_1}{i=2,3, \cdots}\left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \cdots & a \\ -1 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right|_{(n+1) \times(n+1)} Dn=∣ ∣100⋮0axa⋮aaax⋮a⋯⋯⋯⋯aaa⋮x∣ ∣(n+1)×(n+1)i=2,3,⋯ri−r1∣ ∣1−1−1⋮−1ax−a0⋮0a0x−a⋮0⋯⋯⋯⋯a00⋮x−a∣ ∣(n+1)×(n+1)
若 x = a x=a x=a, 则 D n = 0 D_n=0 Dn=0. 若 x ≠ a x \neq a x=a, 则将 1 x − a c j \frac{1}{x-a} c_j x−a1cj 加到 c 1 , j = 2 , 3 , ⋯ , n + 1 c_1, j=2,3, \cdots, n+1 c1,j=2,3,⋯,n+1 :
D n = ∣ 1 + a x − a n a a ⋯ a 0 x − a 0 ⋯ 0 0 0 x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ x − a ∣ ( n + 1 ) × ( n + 1 ) = ( 1 + n a x − a ) ( x − a ) n = ( x + ( n − 1 ) a ) ( x − a ) n − 1 . \begin{aligned} D_n &=\left|\begin{array}{ccccc} 1+\frac{a}{x-a} n & a & a & \cdots & a \\ 0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right|_{(n+1) \times(n+1)} \\ &=\left(1+\frac{n a}{x-a}\right)(x-a)^n=(x+(n-1) a)(x-a)^{n-1} . \end{aligned} Dn=∣ ∣1+x−aan00⋮0ax−a0⋮0a0x−a⋮0⋯⋯⋯⋯a00⋮x−a∣ ∣(n+1)×(n+1)=(1+x−ana)(x−a)n=(x+(n−1)a)(x−a)n−1.
解法四. 将 D n D_n Dn 的第 1 列拆开, 得
D n = ∣ x − a a a ⋯ a 0 x a ⋯ a 0 a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 a a ⋯ x ∣ + ∣ a a a ⋯ a a x a ⋯ a a a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a a ⋯ x ∣ = ( x − a ) D n − 1 + a ( x − a ) n − 1 . D_n=\left|\begin{array}{ccclc} x-a & a & a & \cdots & a \\ 0 & x & a & \cdots & a \\ 0 & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a & a & \cdots & x \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc} a & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{array}\right|=(x-a) D_{n-1}+a(x-a)^{n-1} . Dn=∣ ∣x−a00⋮0axa⋮aaax⋮a⋯⋯⋯⋯aaa⋮x∣ ∣+∣ ∣aaa⋮aaxa⋮aaax⋮a⋯⋯⋯⋯aaa⋮x∣ ∣=(x−a)Dn−1+a(x−a)n−1.
所以
将上述等式累加, 消掉等号两边的相同项, 并注意到 D 2 = x 2 − a 2 D_2=x^2-a^2 D2=x2−a2, 则
D n = ( x − a ) n − 2 ( x 2 − a 2 ) + ( n − 2 ) a ( x − a ) n − 1 = ( x + ( n − 1 ) a ) ( x − a ) n − 1 . D_n=(x-a)^{n-2}\left(x^2-a^2\right)+(n-2) a(x-a)^{n-1}=(x+(n-1) a)(x-a)^{n-1} . Dn=(x−a)n−2(x2−a2)+(n−2)a(x−a)n−1=(x+(n−1)a)(x−a)n−1.
1.4 行列式计算的常见方法
1. 基本计算思路
三角化
化行列式为三角形是计算行列式的最基本思路. 通过观察行列式的特点, 利用行列式的性质将其作变 形, 再将其化为三角形行列式.
例： 计算 n n n 阶行列式
D = ∣ n n − 1 ⋯ 3 2 1 n n − 1 ⋯ 3 3 1 n n − 1 ⋯ 5 2 1 ⋮ ⋮ . ⋮ ⋮ ⋮ n 2 n − 3 ⋯ 3 2 1 2 n − 1 n − 1 ⋯ 3 2 1 ∣ . D=\left|\begin{array}{cccccc} n & n-1 & \cdots & 3 & 2 & 1 \\ n & n-1 & \cdots & 3 & 3 & 1 \\ n & n-1 & \cdots & 5 & 2 & 1 \\ \vdots & \vdots & . & \vdots & \vdots & \vdots \\ n & 2 n-3 & \cdots & 3 & 2 & 1 \\ 2 n-1 & n-1 & \cdots & 3 & 2 & 1 \end{array}\right| . D=∣ ∣nnn⋮n2n−1n−1n−1n−1⋮2n−3n−1⋯⋯⋯.⋯⋯335⋮33232⋮22111⋮11∣ ∣.
解 各行只有副对角线元素不同. 将第 1 行乘以 (-1) 加到第 2 , 3 , … , n 2,3, \ldots, n 2,3,…,n 行, 得
D = ∣ n n − 1 ⋯ 3 2 1 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 2 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 n − 2 ⋯ 0 0 0 n − 1 0 ⋯ 0 0 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) ! D=\left|\begin{array}{cccccc} n & n-1 & \cdots & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & n-2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ n-1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1) ! D=∣ ∣n00⋮0n−1n−100⋮n−20⋯⋯⋯⋱⋯⋯302⋮00210⋮00100⋮00∣ ∣=(−1)2n(n−1)(n−1)!降阶法
按一行(列)展开或按 Laplace 定理展开, 将
线性代数 | 知识点总结（上）相关推荐
- 2021-2022-1 线性代数知识点总结的视频
01 线性方程组 02 矩阵及其运算 03 向量空间(上) 03 向量空间(下) 04 特征值与特征向量 05 实对称矩阵与二次型 2021 线性代数 第三章 习题课 2021 线性代数 第四章 习题 ...
- 线性代数 | 知识点总结（下）
线性代数知识点总结归纳,参考资料为武汉大学黄正华老师的教学课件. 前文提要:[线性代数]知识点总结(上) 3. 矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 初等变换矩阵 初等矩阵把变换过程传递到它所乘的矩阵; ...
- 神经网络与机器学习 笔记—基本知识点（上）
神经网络与机器学习 笔记-基本知识点(上) 0.1 什么是神经网络: 神经网络是由简单处理单元构成的大规模并行分布处理器,天然具有存储经验知识和使之可用的特性.神经网络在两个方面与大脑类似. 神经网络 ...
- 线性代数知识点总结——矩阵乘法、矩阵运算与性质、矩阵微积分
线性代数知识点总结 1. 基础概念和符号 1.1 基本符号 2.矩阵乘法 2.1 向量-向量乘法 2.2 矩阵-向量乘法 2.3 矩阵-矩阵乘法 3 运算和属性 3.1 单位矩阵和对角矩阵 3.2 转 ...
- Linux操作系统知识点（上）
Linux操作系统知识点(上) [1]嵌入式系统 嵌入式系统是以应用为中心,以计算机技术为基础,并且软硬件 可裁剪,适用于对功能.可靠性.成本.体积.功耗有严格要求 的专用计算机系统. [2]四个重要 ...
- 人工智能之数学基础篇—线性代数基础（上）
人工智能之数学基础篇-线性代数基础(上) 1 向量 1.1 标量 1.2 向量 1.3 向量的两个基本运算 1.3.1 向量的加法 1.3.2 向量的数乘 1.4 向量与数据 2 矩阵 2.1 矩阵的 ...
- 山东专升本计算机知识点（上）
山东专升本计算机知识点(上) 一.信息技术与计算机文化 1.1信息与信息技术 1.1.1信息与数据 信息的概念:信息是现代社会中广泛使用的一个概念,一般认为,信息是在自然界.人类社会和人类思维活动中普 ...
- 线性代数知识点总结_考研数学线性代数部分怎样复习
前言: 对于线性代数而言,数一.数二.数三的差别并不是很大,所以在这里我就不区分了.在线性代数中,线性方程组和矩阵的相似是考察的重点,并且大家还要注意线性方程组和向量之间的相结合,矩阵的相似和二次型的 ...
- 线性代数知识点总结_简单整理一下自控原理中的线性代数知识点
线性代数这么学科在现代科学和工程中应用十分广泛,在自动控制理论中也是如此.线性空间和矩阵是线性代数的核心知识点.矩阵可是说是空间的一种表现形式,空间中的运动是通过矩阵来描述的.矩阵描述的是系统的运动, ...
最新文章
- 判断有向图g中顶点i到顶点j是否有路径_[源码和文档分享]基于Dijkstra算法的最短路径问题求解...
- 使用JavaScript实现一个简单的编译器
- c 后台代码调用ajax,.NET Selenium WebDriver操作调用浏览器后台执行Js(JavaScript)代码...
- 软件详细设计说明书_互联网知识大全：软件开发中和各种开发软件文档的常见的英文缩写，还不快快收藏！...
- 虚函数和抽象函数的区别
- 电脑安全注意事项_松下洗衣机维修方法及注意事项
- BS4 find_all
- 多角度闲聊游戏打击感
- 微软公司软件开发模式简介
- 正负样本不平衡处理方法总结【转】
- 土木工程与计算机专业考研学校排名,2017年土木工程专业考研大学排名
- Hyperledger Fabric Endorsement policies——背书策略
- Visio2007注册码（产品密匙）
- 谷歌最新版本浏览器如何兼容flash插件
- gulp-sass 使用报错Error:gulp-sass no longer has a default Sass compiler； please set one yourself
- 【Java】使用AOP进行异常处理与日志记录
- 互联网历史上50个最重要的时刻
- 第2次作业：软件案例分析
- 群晖NAS配置DNSPodDDNS实现外网访问(仅适用于阿里云域名)
- 1297: 小数化分数
热门文章
- 2021-2022-1 线性代数知识点总结的视频