线性代数知识点总结归纳，参考资料为武汉大学黄正华老师的教学课件。

前文提要：【线性代数】知识点总结（上）

3. 矩阵的初等变换与线性方程组

3.1 初等变换矩阵

初等矩阵把变换过程传递到它所乘的矩阵; 并遵循左乘则行变, 右乘则列变的特点.

具体而言, 设 P\boldsymbol{P}P 为初等矩阵,

若 P\boldsymbol{P}P 左乘矩阵 A\boldsymbol{A}A, 则 PA\boldsymbol{P A}PA 的结果是: 把矩阵 A\boldsymbol{A}A 进行初等行变换, 并且 PPP 是怎样由单位矩阵 E\boldsymbol{E}E 通过行变换得来, 矩阵 A\boldsymbol{A}A 就进行完全相同的行变换.
若 P\boldsymbol{P}P 右乘矩阵 A\boldsymbol{A}A, 则 AP\boldsymbol{A P}AP 的结果是: 把矩阵 A\boldsymbol{A}A 进行初等列变换, 并且 P\boldsymbol{P}P 是怎样由单位矩阵 E\boldsymbol{E}E 通过列变换得来, 矩阵 A\boldsymbol{A}A 就进行完全相同的列变换.

设 P=(10k0100101),A=(a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4)\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & k & 0 \\ & 1 & 0 & 0 \\ & & 1 & 0 \\ & & & 1\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4\end{array}\right)P=⎝⎛101k010001⎠⎞,A=⎝⎛a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4⎠⎞.

例如，若计算 PA\boldsymbol{P A}PA, 则把 A\boldsymbol{A}A 进行初等行变换, P\boldsymbol{P}P 是由单位矩阵 E\boldsymbol{E}E 经行变换 r1+kr3r_1+k r_3r1+kr3 得来, 则把 A\boldsymbol{A}A 就进行相同的行变换, 所以
(10k0100101)(a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4)=(a1+kc1a2+kc2a3+kc3a4+kc4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & k & 0 \\ & 1 & 0 & 0 \\ & & 1 & 0 \\ & & & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{llll} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_1+k c_1 & a_2+k c_2 & a_3+k c_3 & a_4+k c_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) ⎝⎛101k010001⎠⎞⎝⎛a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4⎠⎞=⎝⎛a1+kc1b1c1d1a2+kc2b2c2d2a3+kc3b3c3d3a4+kc4b4c4d4⎠⎞

若计算 AP\boldsymbol{A P}AP, 此时要视 P\boldsymbol{P}P 是由单位矩阵 E\boldsymbol{E}E 通过初等列变换 c3+kc1c_3+k c_1c3+kc1 得来, 并有
(a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4)(10k0100101)=(a1a2a3+ka1a4b1b2b3+kb1b4c1c2c3+kc1c4d1d2d3+kd1d4).\left(\begin{array}{llll} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & k & 0 \\ & 1 & 0 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & a_3+k a_1 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3+k b_1 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3+k c_1 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3+k d_1 & d_4 \end{array}\right) . ⎝⎛a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4⎠⎞⎝⎛1011k00100⎠⎞=⎝⎛a1b1c1d1a2b2c2d2a3+ka1b3+kb1c3+kc1d3+kd1a4b4c4d4⎠⎞.

3.2 矩阵的秩

初等变换不改变矩阵的秩.
- 若 A∼B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A∼B, 则 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B). (但 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B) 不能得 A∼B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A∼B, 除非两者是同型矩阵. ∼\sim∼表示初等变换操作)
- 若 P,Q\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}P,Q 可逆, 则 R(PAQ)=R(A)R(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q})=R(\boldsymbol{A})R(PAQ)=R(A).
矩阵和、差、积的秩.
- R(A)−R(B)⩽R(A±B)⩽R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A})-R(\boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A} \pm \boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})R(A)−R(B)⩽R(A±B)⩽R(A)+R(B).
- R(A)+R(B)−n⩽R(AB)⩽min⁡{R(A),R(B)}R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})-n \leqslant R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\}R(A)+R(B)−n⩽R(AB)⩽min{R(A),R(B)}. 其中 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 分别为 s×ns \times ns×n 和 n×mn \times mn×m 矩阵

3.3 线性方程组有解判别

1. 一般的方程 A x=b 的情形.

对 nnn 元线性方程组 Ax=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}Ax=b, 记 B=(A,b)\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})B=(A,b). 注意到 R(B)R(\boldsymbol{B})R(B) 比 R(A)R(\boldsymbol{A})R(A) 只多 0 或 1 .

若 R(B)=R(A)+1R(\boldsymbol{B})=R(\boldsymbol{A})+1R(B)=R(A)+1, 则说明出现了矛盾方程, 导致方程组无解.
若 R(B)=R(A)R(\boldsymbol{B})=R(\boldsymbol{A})R(B)=R(A), 则没有矛盾方程, 方程组有解. 其中,
- 当 R(B)=R(A)<nR(\boldsymbol{B})=R(\boldsymbol{A})<nR(B)=R(A)<n 时, 说明出现了自由末知量, 导致方程组有无限多解;
- 而 R(B)=R(A)=nR(\boldsymbol{B})=R(\boldsymbol{A})=nR(B)=R(A)=n 时, 则没有出现自由末知量, 所以方程组有唯一解.
是否出现矛盾方程是方程组有解与否的关键; 是否出现自由未知量又是区分有无限多解和有唯一解的关键.

换成秩的角度去说问题, 就呈现为下面的表达:
nnn 元线性方程组 Ax=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}Ax=b 无解 ⟺R(A)≠R(B)\Longleftrightarrow R(\boldsymbol{A}) \neq R(\boldsymbol{B})⟺R(A)=R(B).

2. 齐次方程组 A x=0 的情形.

齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 是天然有解的, 它至少有一个解: 零解. 所以对齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=0Ax=0, 我们关心的
不是它有没有解, 而是它是否有非零解. 下面的结论要非常的清楚:

nnn 元齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 只有零解的充要条件是 R(A)=nR(\boldsymbol{A})=nR(A)=n.
nnn 元齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 有非零解的充要条件是 R(A)<nR(\boldsymbol{A})<nR(A)<n.
注意:
- nnn 是未知量的个数, 或者说是矩阵 A\boldsymbol{A}A 的列数. R(A)<nR(\boldsymbol{A})<nR(A)<n 表明 A\boldsymbol{A}A 的行阶梯型矩阵中非零行的行数,小于 nnn, 说明出现了自由未知量, 导致方程组的不唯一, 所以有非零解.
- 矩阵 A\boldsymbol{A}A 不一定是方阵.

3. Ax=0A x=0Ax=0与ATAx=0A^TA x=0ATAx=0解等价

证明：

因为
Ax=0⟹两边左乘以ATATAx=0Ax=0 \overset{两边左乘以A^T}\Longrightarrow A^TA x=0 Ax=0⟹两边左乘以ATATAx=0

ATAx=0⟹两边左乘以xTxTATAx=0⟹(Ax)T(Ax)=0⟹∣∣Ax∣∣2=0⟹Ax=0A^TA x=0 \overset{两边左乘以x^T}\Longrightarrow x^TA^TA x=0\Longrightarrow (Ax)^T(Ax)=0\Longrightarrow ||Ax||^2=0\Longrightarrow Ax=0 ATAx=0⟹两边左乘以xTxTATAx=0⟹(Ax)T(Ax)=0⟹∣∣Ax∣∣2=0⟹Ax=0

所以
Ax=0⟺ATAx=0Ax=0\Longleftrightarrow A^TA x=0 Ax=0⟺ATAx=0

3.4 矩阵可逆的等价说法

nnn 阶矩阵 A\boldsymbol{A}A 可逆, 下列说法等价:

A\boldsymbol{A}A 是满秩矩阵; 或 R(A)=nR(\boldsymbol{A})=nR(A)=n. (不可逆矩阵又称为降秩矩阵.)
A\boldsymbol{A}A 的标准形是 E\boldsymbol{E}E; 或 A∼E\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{E}A∼E.
A\boldsymbol{A}A 可以表达为有限个初等矩阵的乘积.
齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 只有零解.
非齐次线性方程组 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有唯一解.

3.5 示例

例：设 A=(12−24t33−11),B\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}A=⎝⎛1432t−1−231⎠⎞,B 为 3 阶非零矩阵, 且 AB=O\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}AB=O, 则 t=？t=？t=？

解：即矩阵方程 AX=O\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}AX=O 有非零解, 则 R(A)<3R(\boldsymbol{A})<3R(A)<3, 故 ∣A∣=0|\boldsymbol{A}|=0∣A∣=0, 解得 t=−3t=-3t=−3.
例：设 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵, Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}Ax=b 所对应的齐次线性方程组, 则下列结论正确的是
(A) 若 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 仅有零解, 则 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有唯一解.
(B) 若 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 有非零解, 则 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有无穷多个解.
(C ) 若 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有无穷多个解, 则 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 仅有零解.
(D) 若 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有无穷多个解, 则 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 有非零解.
解：若 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵, 则下列基本结论要非常清楚:
- Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 仅有零解 ⟺R(A)=n\Longleftrightarrow R(\boldsymbol{A})=n⟺R(A)=n.
- Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0 有非零解 ⟺R(A)<n\Longleftrightarrow R(\boldsymbol{A})<n⟺R(A)<n.
- Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有唯一解 ⟺R(A)=R(A,b)=n\Longleftrightarrow R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=n⟺R(A)=R(A,b)=n.
- Ax=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}Ax=b 有无穷多个解 ⟺R(A)=R(A,b)<n\Longleftrightarrow R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})<n⟺R(A)=R(A,b)<n.
  选项 (A) 错, 除非系数矩阵 A\boldsymbol{A}A 是方阵. (B) 错, 因不能判断 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}Ax=b 是否有解. 正确答案是 (D).
例：设 A\boldsymbol{A}A 是 4×34 \times 34×3 矩阵, 且 R(A)=2R(\boldsymbol{A})=2R(A)=2, 而 B=(102020−103)\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right)B=⎝⎛10−1020203⎠⎞. 则 R(AB)=R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=R(AB)=
解：因为 ∣B∣=10≠0|\boldsymbol{B}|=10 \neq 0∣B∣=10=0, 即 B\boldsymbol{B}B 可逆. 所以 R(AB)=R(A)=2R(\boldsymbol{A B})=R(\boldsymbol{A})=2R(AB)=R(A)=2.
例：设矩阵 A=(k1111k1111k1111k)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)A=⎝⎛k1111k1111k1111k⎠⎞, 且 R(A)=3R(\boldsymbol{A})=3R(A)=3, 则 k=k=k=

解： A∼(k+3k+3k+3k+31k1111k1111k)∼(k+30001k−10010k−10100k−1)\boldsymbol{A} \sim\left(\begin{array}{cccc}k+3 & k+3 & k+3 & k+3 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cccc}k+3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & k-1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & k-1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & k-1\end{array}\right)A∼⎝⎛k+3111k+3k11k+31k1k+311k⎠⎞∼⎝⎛k+31110k−10000k−10000k−1⎠⎞, 得 k=−3k=-3k=−3.
例：设 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵, C\boldsymbol{C}C 是 nnn 阶可逆矩阵, 矩阵 A\boldsymbol{A}A 的秩为 rrr, 矩阵 B=AC\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}B=AC 的秩为 r1r_1r1, 则：
(A) r>r1r>r_1r>r1;
(B) r<r1r<r_1r<r1;
( C) r=r1r=r_1r=r1
(D) rrr 与 r1r_1r1 的关系依 C\boldsymbol{C}C 而定.

解：由 B=ACB=A CB=AC, 及 CCC 是 nnn 阶可逆矩阵, 知 B∼AB \sim AB∼A, 故选 ( C).
可逆矩阵与矩阵相乘, 不改变矩阵的秩.

4. 向量组的线性相关性

4.1 向量的线性表示

有关向量的线性表示, 下面的说法是等价的:

向量 b\boldsymbol{b}b 能由向量组 a1,a2,⋯,am\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_ma1,a2,⋯,am 线性表示.
⟺\Longleftrightarrow⟺ 线性方程组 x1a1+x2a2+⋯+xmam=bx_1 \boldsymbol{a}_1+x_2 \boldsymbol{a}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{a}_m=\boldsymbol{b}x1a1+x2a2+⋯+xmam=b 有解.
⟺R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b)\Longleftrightarrow R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)=R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m, \boldsymbol{b}\right)⟺R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b).

上述结论的朴素理解:

R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b)R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)=R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m, \boldsymbol{b}\right)R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b), 意味着往向量组 a1,a2,⋯,am\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_ma1,a2,⋯,am 中添加向量 b\boldsymbol{b}b, 并没有使得向量组的秩增加, 其根本原因在于向量 b\boldsymbol{b}b 能由 a1,a2,⋯,am\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_ma1,a2,⋯,am 线性表示.

进而, R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b1,b2,⋯,bs)R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)=R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_s\right)R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b1,b2,⋯,bs), 也可理解为往向量组 a1,a2,⋯,am\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_ma1,a2,⋯,am 中添加向量 b1,b2,⋯,bs\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_sb1,b2,⋯,bs, 并没有使得向量组的秩增加, 所以, 向量组 B:b1,b2,⋯,bsB: \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_sB:b1,b2,⋯,bs 能由向量组 AAA : a1,a2,⋯,am\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_ma1,a2,⋯,am 线性表示的充分必要条件是
R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b1,b2,⋯,bs).R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)=R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_s\right) . R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,a2,⋯,am,b1,b2,⋯,bs).

4.2 线性相关与线性无关.

对于线性相关, 下面的说法是等价的:

向量组 A:a1,a2,⋯,am(m⩾2)A: \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m(m \geqslant 2)A:a1,a2,⋯,am(m⩾2) 线性相关.
⟺\Longleftrightarrow⟺ 向量组 AAA 中至少存在一个向量是其余 m−1m-1m−1 个向量的线性组合.
⟺\Longleftrightarrow⟺ 线性方程组 x1a1+x2a2+⋯xmam=0x_1 \boldsymbol{a}_1+x_2 \boldsymbol{a}_2+\cdots x_m \boldsymbol{a}_m=\mathbf{0}x1a1+x2a2+⋯xmam=0 有非零解.
⟺a1,a2,⋯,am\Longleftrightarrow \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m⟺a1,a2,⋯,am 的秩小于向量的个数 mmm, 即 R(a1,a2,⋯,am)<mR\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)<mR(a1,a2,⋯,am)<m.
对于线性无关, 下面的说法是等价的:
向量组 A:a1,a2,⋯,am(m⩾2)A: \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m(m \geqslant 2)A:a1,a2,⋯,am(m⩾2) 线性无关.
⟺\Longleftrightarrow⟺ 线性方程组 x1a1+x2a2+⋯xmam=0x_1 \boldsymbol{a}_1+x_2 \boldsymbol{a}_2+\cdots x_m \boldsymbol{a}_m=\mathbf{0}x1a1+x2a2+⋯xmam=0 只有零解.
⟺R(a1,a2,⋯,am)=m\Longleftrightarrow R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)=m⟺R(a1,a2,⋯,am)=m.

4.3 矩阵等价与向量组等价的区别与联系.

设有 nnn 维向量组 A:a1,a2,⋯,am,nA: \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m, nA:a1,a2,⋯,am,n 维向量组 B:b1,b2,⋯,bmB: \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_mB:b1,b2,⋯,bm. 矩阵 A=(a1,a2,⋯,am)\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)A=(a1,a2,⋯,am), 矩阵 B=(a1,a2,⋯,am)\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)B=(a1,a2,⋯,am). 则

向量组等价, 可得矩阵等价; (注意这里所设的两向量组中向量的个数相同, 否则两矩阵的列数不同, 会导致矩阵不是同型矩阵, 就不能得到矩阵等价.)
矩阵等价, 不能得到向量组等价.
例如, 设 A=(a1,a2)=(10010000),B=(b1,b2)=(00001001)\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)A=(a1,a2)=⎝⎛10000100⎠⎞,B=(b1,b2)=⎝⎛00100001⎠⎞, 由 R(A)=R(B)=2R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})=2R(A)=R(B)=2, 知 A∼B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A∼B. 但向量组 a1,a2\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2a1,a2 与向量组 b1,b2\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2b1,b2 不是等价的, 因为这里 R(a1,a2,b1,b2)=4R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right)=4R(a1,a2,b1,b2)=4, 不满足两向量组等价的充要条件 R(a1,a2)=R(b1,b2)=R(a1,a2,b1,b2)R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right)=R\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right)=R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right)R(a1,a2)=R(b1,b2)=R(a1,a2,b1,b2).

两向量组等价的充要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B)R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})=R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})R(A)=R(B)=R(A,B), 而不是 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B).

4.4 最大无关组意义

最大无关组和原向量组是等价的, 是原向量组的简约, 更是原向量组的 “全权代表”.
最大无关组从理论上弄清了, 用消元法解线性方程组时, 为什么最后会剩余稳定数量的方程, 事实上那些剩下的方程就是原方程组的 “最大无关组”, 和原方程组是等价的, 是同解的.
线性相关、线性表示的概念也可以解释用消元法解线性方程组的相关问题: 方程组是“线性相关”的，说明有多余的方程; 能被其他的方程 “线性表示”的方程就是多余的. (“多余”是相对的, 方程的去、留不是绝对的, 因最大无关组一般不唯一.)
最大无关组也使线性方程组在解的表示上, 得到了简洁、完备的表达. 从更广泛的含义上看, 最大无关组还充当了坐标系的功能.

4.5 n-r 的含义.

定理 : 对 nnn 元齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}Ax=0, 设 R(A)=rR(\boldsymbol{A})=rR(A)=r, 则方程组 Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}Ax=0 的基础解系包含 n−rn-rn−r 个向量.

rrr 是 A\boldsymbol{A}A 的秩, 也是 A\boldsymbol{A}A 的行阶梯型矩阵的非零行的行数, 是非自由未知量的个数. (非自由未知量一般取自非零行的第一个非零元所对应的未知量, 一个非零行只能确定一个非自由未知量.)
nnn 是未知量的总数, 所以 n−rn-rn−r 是自由未知量的个数. 有多少个自由未知量, 基础解系里就对应有多少个向量.

4.6 几条矩阵秩的重要性质

证明: max⁡{R(A),R(B)}⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B)\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \leqslant R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})max{R(A),R(B)}⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B).

证明：因为 A\boldsymbol{A}A 的列均可由 (A,B)(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})(A,B) 的列线性表出, 所以
R(A)⩽R(A,B)R(\boldsymbol{A}) \leqslant R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) R(A)⩽R(A,B)
同理 R(B)⩽R(A,B)R(\boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})R(B)⩽R(A,B). 所以
max⁡{R(A),R(B)}⩽R(A,B).\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \leqslant R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) . max{R(A),R(B)}⩽R(A,B).
设 a1,a2,⋯,ara_1, a_2, \cdots, a_ra1,a2,⋯,ar 为 A\boldsymbol{A}A 的列向量的极大线性无关组, b1,b2,⋯,bsb_1, b_2, \cdots, b_sb1,b2,⋯,bs 为 BBB 的列向量的极大线性无关组. 则 (A,B)(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})(A,B) 的列向量均可由向量组 a1,a2,⋯,ar,b1,b2,⋯,bs\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{s}}a1,a2,⋯,ar,b1,b2,⋯,bs 线性表出, 所以
R(A,B)⩽R(a1,a2,⋯,ar,b1,b2,⋯,bs).R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant R\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{s}}\right) . R(A,B)⩽R(a1,a2,⋯,ar,b1,b2,⋯,bs).
而向量组 a1,a2,⋯,ar,b1,b2,⋯,bs\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_sa1,a2,⋯,ar,b1,b2,⋯,bs 的秩不可能超过其向量的个数 r+sr+sr+s, 即 R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})R(A)+R(B), 所以
R(A,B)⩽R(A)+R(B).R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B}) . R(A,B)⩽R(A)+R(B).
得证 .

其实还可以写成
max⁡{R(A),R(B)}⩽R(AB)⩽R(A)+R(B).\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \leqslant R\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B}) . max{R(A),R(B)}⩽R(AB)⩽R(A)+R(B).
上式第一个不等号也是说明, 给一个矩阵添加行, 有可能使得矩阵的秩增加.
证明: R(A+B)⩽R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})R(A+B)⩽R(A)+R(B).
证明：因为 A+B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}A+B 的列均可由 (A,B)(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})(A,B) 的列线性表出, 所以 R(A+B)⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})R(A+B)⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B). 得证
R(A+B)⩽R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B}) R(A+B)⩽R(A)+R(B)
注 : 把矩阵 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 合并、相加, 只可能使秩得以减少.
证明: R(AB)⩽min⁡{R(A),R(B)}R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\}R(AB)⩽min{R(A),R(B)}.
证明：矩阵 ABA BAB 的列向量是矩阵 AAA 的列向量的线性组合, 事实上, 设
AB=(a1,a2,⋯,am)(b11b12⋯b1sb21b22⋯b2s⋮⋮⋮bm1bm2⋯bms)\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m\right)\left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m s} \end{array}\right) AB=(a1,a2,⋯,am)⎝⎛b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2⋯⋯⋯b1sb2s⋮bms⎠⎞
知矩阵 AB\boldsymbol{A B}AB 的第 1 列为 b11a1+b21a2+⋯+bm1am,…b_{11} \boldsymbol{a}_1+b_{21} \boldsymbol{a}_2+\cdots+b_{m 1} \boldsymbol{a}_m, \ldotsb11a1+b21a2+⋯+bm1am,…, 第 sss 列为 b1sa1+b2sa2+⋯+bmsamb_{1 s} \boldsymbol{a}_1+b_{2 s} \boldsymbol{a}_2+\cdots+b_{m s} \boldsymbol{a}_mb1sa1+b2sa2+⋯+bmsam. 矩阵 AB\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}AB 的列向量可以被矩阵 A\boldsymbol{A}A 的列向量线性表示, 知
R(AB)⩽R(A)R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant R(\boldsymbol{A}) R(AB)⩽R(A)
类似地, 矩阵 AB\boldsymbol{A B}AB 的行向量是矩阵 B\boldsymbol{B}B 的行向量的线性组合, 有 R(AB)⩽R(B)R(\boldsymbol{A B}) \leqslant R(\boldsymbol{B})R(AB)⩽R(B). 得证 R(AB)⩽R(\boldsymbol{A B}) \leqslantR(AB)⩽ min⁡{R(A),R(B)}\min \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\}min{R(A),R(B)}.

从这个性质得到的共同理解是: 对一个向量组进行线性组合可能会使向量组的秩减小.

5. 相似矩阵及二次型

5.1 特征值、特征向量的性质.

设 λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1,λ2,⋯,λn 是 nnn 阶矩阵 A\boldsymbol{A}A 的 nnn 个特征值, 则
(a) λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann;
(b) λ1λ2⋯λn=∣A∣\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|\boldsymbol{A}|λ1λ2⋯λn=∣A∣.
设 λ0\lambda_0λ0 是 A\boldsymbol{A}A 的一个特征值, x\boldsymbol{x}x 是 A\boldsymbol{A}A 的对应于 λ0\lambda_0λ0 的特征向量, 则
(a) 若 A\boldsymbol{A}A 可逆, 则 λ0≠0\lambda_0 \neq 0λ0=0, 且 1λ0\frac{1}{\lambda_0}λ01 是 A−1A^{-1}A−1 的特征值; ∣A∣λ0\frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda_0}λ0∣A∣ 是 A∗A^*A∗ 的特征值.
(b) kλ0k \lambda_0kλ0 为 kAk \boldsymbol{A}kA 特征值; λ0m\lambda_0^mλ0m 是 Am\boldsymbol{A}^mAm 特征值.
( c) φ(λ0)\varphi\left(\lambda_0\right)φ(λ0) 是矩阵多项式 φ(A)\varphi(\boldsymbol{A})φ(A) 的特征值, 其中
φ(λ0)=amλ0m+⋯+a1λ0+a0,φ(A)=amAm+⋯+a1A+a0E.\begin{aligned} &\varphi\left(\lambda_0\right)=a_m \lambda_0^m+\cdots+a_1 \lambda_0+a_0, \\ &\varphi(\boldsymbol{A})=a_m \boldsymbol{A}^m+\cdots+a_1 \boldsymbol{A}+a_0 \boldsymbol{E} . \end{aligned} φ(λ0)=amλ0m+⋯+a1λ0+a0,φ(A)=amAm+⋯+a1A+a0E.
而且 x\boldsymbol{x}x 仍然是矩阵 A−1,A∗,kA,Am,φ(A)\boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{A}^*, k \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^m, \varphi(\boldsymbol{A})A−1,A∗,kA,Am,φ(A) 的分别对应于特征值 1λ0,∣A∣λ0,kλ0,λ0m,φ(λ0)\frac{1}{\lambda_0}, \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda_0}, k \lambda_0, \lambda_0^m, \varphi\left(\lambda_0\right)λ01,λ0∣A∣,kλ0,λ0m,φ(λ0) 的特征向量.
特征向量之间的关系:
(a) 矩阵 A\boldsymbol{A}A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(b) 设 λ1,λ2,⋯,λm\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_mλ1,λ2,⋯,λm 是矩阵 A\boldsymbol{A}A 的 mmm 个互异特征值, 对应于 λi(i=1,2,⋯,m)\lambda_i(i=1,2, \cdots, m)λi(i=1,2,⋯,m) 的线性无关的特征向量有 rir_iri 个, 则由所有这些特征向量(共 r1+r2+⋯+rmr_1+r_2+\cdots+r_mr1+r2+⋯+rm 个)构成的向量组是线性无关的.
( c) 对称矩阵 A\boldsymbol{A}A 的属于不同特征值的特征向量是两两正交的.
特征值所对应的特征向量的个数:
(a) 每个特征值都对应着至少一个特征向量.
(b) kkk 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过 kkk.
(c ) 若 A\boldsymbol{A}A 为对称阵, 则 A\boldsymbol{A}A 的每个特征值对应的线性无关特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.
方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆 ⟺0\Longleftrightarrow 0⟺0 不是 A\boldsymbol{A}A 的特征值.

5.2 正交矩阵的性质.

方阵A为正交矩阵⟺ATA=E⟺AAT=E⟺A可逆,且A−1=AT⟺A的行(列)向量组两两正交,且都是单位向量⟺A的行(列)向量组是一组规范正交基.\begin{aligned} 方阵 \boldsymbol{A}为正交矩阵 &\Longleftrightarrow \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} \\ &\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}\\ &\Longleftrightarrow A 可逆, 且 A^{-1}=A^{\mathrm{T}}\\ &\Longleftrightarrow A 的行(列)向量组两两正交, 且都是单位向量\\ &\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 的行(列)向量组是一组规范正交基.\\ \end{aligned} 方阵A为正交矩阵⟺ATA=E⟺AAT=E⟺A可逆,且A−1=AT⟺A的行(列)向量组两两正交,且都是单位向量⟺A的行(列)向量组是一组规范正交基.
若 A\boldsymbol{A}A 为正交矩阵, 则 ∣A∣=±1|\boldsymbol{A}|=\pm 1∣A∣=±1; 其特征值 λ\lambdaλ 满足 ∣λ∣=1|\lambda|=1∣λ∣=1.

正交变换具有保持向量的内积、长度、夹角不变的特性.

5.3 矩阵对角化.

矩阵 A\boldsymbol{A}A 与对角阵相似的充要条件是: A\boldsymbol{A}A 有 nnn 个线性无关的特征向量.
矩阵 AAA 与对角阵相似的充要条件是: AAA 的每个特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数.
nnn 阶矩阵 AAA 有 nnn 个互不相同的特征值, 则 AAA 可以对角化. 此条件是充分的, 但不是必要的.

5.4 对称矩阵正定的充要条件.

对称矩阵A为正定的⟺二次型f(x)=xTAx为正定的⟺A的特征值全为正⟺A的各阶主子式都为正.\begin{aligned} 对称矩阵 \boldsymbol{A} 为正定的 &\Longleftrightarrow 二次型 f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}为正定的\\ & \Longleftrightarrow \boldsymbol{A}的特征值全为正 \\ &\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 的各阶主子式都为正. \end{aligned} 对称矩阵A为正定的⟺二次型f(x)=xTAx为正定的⟺A的特征值全为正⟺A的各阶主子式都为正.

5.5 等价、相似、合同、正交相似.

设 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 均为 m×nm \times nm×n 矩阵, A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 等价 ⟺\Longleftrightarrow⟺ 存在 mmm 阶可逆阵 P\boldsymbol{P}P 和 nnn 阶可逆阵 Q\boldsymbol{Q}Q, 使 PAQ=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}PAQ=B.
设 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 均为 nnn 阶方阵,
- AAA 与 BBB 相似 ⟺\Longleftrightarrow⟺ 存在可逆阵 PPP, 使 P−1AP=BP^{-1} A P=BP−1AP=B.
- A\boldsymbol{A}A 与 BBB 合同 ⟺\Longleftrightarrow⟺ 存在可逆阵 PPP, 使 PTAP=BP^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}PTAP=B.
- A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 正交相似 ⟺\Longleftrightarrow⟺ 存在正交矩阵 PPP, 使 PTAP=P−1AP=BP^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=P^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}PTAP=P−1AP=B.

等价、相似、合同、正交相似的区别和联系：

等价的矩阵不必是方阵, 后面三个都是方阵之间的关系.
相似、合同、正交相似都是等价的一种; 正交相似关系最强, 等价关系最弱.
相似与合同没有什么关系, 仅当 PPP 为正交阵时, 有 PTAP=P−1APP^{\mathrm{T}} A P=P^{-1} A PPTAP=P−1AP, 这时相似与合同是一致的.

5.6 示例

例：设 A\boldsymbol{A}A 为 3 阶矩阵, α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1,α2 为 A\boldsymbol{A}A 的分别属于特征值 −1,1-1,1−1,1 的特征向量, 向量 α3\boldsymbol{\alpha}_3α3 满足 Aα3=α2+α3\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3Aα3=α2+α3.
(I) 证明 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1,α2,α3 线性无关;
(II) 令 P=(α1,α2,α3)P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)P=(α1,α2,α3), 求 P−1APP^{-1} A PP−1AP.
解：
(I) 设
x1α1+x2α2+x3α3=0.(1)\tag{1} x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+x_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0} . x1α1+x2α2+x3α3=0.(1)
在上式两边左乘 A\boldsymbol{A}A, 由 Aα1=−α1,Aα2=α2,Aα3=α2+α3\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1=-\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3Aα1=−α1,Aα2=α2,Aα3=α2+α3, 得 −x1α1+x2α2+x3(α2+α3)=0-x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+x_3\left(\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3\right)=\mathbf{0}−x1α1+x2α2+x3(α2+α3)=0, 即
−x1α1+(x2+x3)α2+x3α3=0.(2)\tag{2} -x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\left(x_2+x_3\right) \boldsymbol{\alpha}_2+x_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0} . −x1α1+(x2+x3)α2+x3α3=0.(2)
将 (2) 式减去 (1) 式, 得
−2x1α1+x3α2=0.-2 x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_3 \boldsymbol{\alpha}_2=\mathbf{0} . −2x1α1+x3α2=0.
α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1,α2 是 A\boldsymbol{A}A 的不同特征值对应的特征向量, 所以 α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1,α2 线性无关, 得 x1=x3=0x_1=x_3=0x1=x3=0. 代入 (1) 式, 得 x2α2=0x_2 \boldsymbol{\alpha}_2=\mathbf{0}x2α2=0.
注意到特征向量是非零向量, α2≠0\boldsymbol{\alpha}_2 \neq \mathbf{0}α2=0, 所以只能是 x2=0x_2=0x2=0. 得证 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1,α2,α3 线性无关.
(II) 由
AP=A(α1,α2,α3)=(Aα1,Aα2,Aα3)=(−α1,α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)(−100011001)=P(−100011001)\begin{aligned} \boldsymbol{A P} &=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(-\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3\right) \\ &=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned} AP=A(α1,α2,α3)=(Aα1,Aα2,Aα3)=(−α1,α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)⎝⎛−100010011⎠⎞=P⎝⎛−100010011⎠⎞
又 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1,α2,α3 线性无关, 知 P=(α1,α2,α3)\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)P=(α1,α2,α3) 可逆, 所以
P−1AP=(−100011001)\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) P−1AP=⎝⎛−100010011⎠⎞
例: 设 3 阶实对称矩阵 A\boldsymbol{A}A 满足条件 A2+2A=O\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}A2+2A=O, 已知 A\boldsymbol{A}A 的秩 R(A)=2R(\boldsymbol{A})=2R(A)=2.
(1) 求 A\boldsymbol{A}A 的全部特征值;
(2) 当 kkk 为何值时, 矩阵 A+kE\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}A+kE 为正定矩阵, 其中 E\boldsymbol{E}E 为 3 阶单位矩阵.

解：设 λ\lambdaλ 是矩阵 AAA 的任一特征值, α\alphaα 是对应于 λ\lambdaλ 的特征向量, 即 Aα=λαA \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}Aα=λα, 则 A2α=λ2α\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}=\lambda^2 \boldsymbol{\alpha}A2α=λ2α, 由 A2+2A=OA^2+2 A=OA2+2A=O, 得
(A2+2A)α=(λ2+2λ)α=0\left(\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{\alpha}=\left(\lambda^2+2 \lambda\right) \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} (A2+2A)α=(λ2+2λ)α=0
注意到 α\alphaα 是特征向量, α≠0\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}α=0, 所以
λ2+2λ=0,\lambda^2+2 \lambda=0, λ2+2λ=0,
得 λ=−2\lambda=-2λ=−2 或 λ=0\lambda=0λ=0.
因为 A\boldsymbol{A}A 是实对称矩阵, 必可以相似对角化, 设 A\boldsymbol{A}A 与对角矩阵 Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ 相似, 则 R(Λ)=R(A)=2R(\boldsymbol{\Lambda})=R(\boldsymbol{A})=2R(Λ)=R(A)=2, 进而有
Λ=(−2−20)\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{ccc} -2 & & \\ & -2 & \\ & & 0 \end{array}\right) Λ=⎝⎛−2−20⎠⎞
即矩阵 A\boldsymbol{A}A 的全部特征值为 λ1=λ2=−2,λ3=0\lambda_1=\lambda_2=-2, \lambda_3=0λ1=λ2=−2,λ3=0.

(2) 由矩阵 A\boldsymbol{A}A 的全部特征值为 −2,−2,0-2,-2,0−2,−2,0, 相应地 A+kE\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}A+kE 的特征值为 −2+k,−2+k,k-2+k,-2+k, k−2+k,−2+k,k. 对称矩阵 A+kE\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}A+kE 为正定矩阵的充要条件是特征值全为正, 所以 k>2k>2k>2 时 A+kE\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}A+kE 为正定矩阵.
例: 若 nnn 阶实对称矩阵 A=(aij)n×n\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}A=(aij)n×n 正定, 则 aii>0,i=1,2,⋯,na_{i i}>0, i=1,2, \cdots, naii>0,i=1,2,⋯,n. 若 A\boldsymbol{A}A 是负定矩阵, 则 aii<0a_{i i}<0aii<0, i=1,2,⋯,ni=1,2, \cdots, ni=1,2,⋯,n.
证明：若 nnn 阶实对称矩阵 A\boldsymbol{A}A 正定, 则二次型 f(x)=xTAxf(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}f(x)=xTAx 正定. 取 x=ei=(0,0,⋯,0,1,0,⋯,0)T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{e}_i=(0,0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0)^{\mathrm{T}}x=ei=(0,0,⋯,0,1,0,⋯,0)T, 则
f(x)=xTAx=aii>0.f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a_{i i}>0 . f(x)=xTAx=aii>0.
同理可证 A\boldsymbol{A}A 是负定矩阵, 则 aii<0a_{i i}<0aii<0.
例: 已知方阵 A\boldsymbol{A}A 是实反对称矩阵, 即满足 AT=−A\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}AT=−A, 试证 E−A2\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2E−A2 为正定矩阵, 其中 E\boldsymbol{E}E 是单位矩阵.
证明：先说明 E−A2E-A^2E−A2 为实对称矩阵. 事实上
(E−A2)T=E−ATAT=E−(−A)(−A)=E−A2.\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}-(-\boldsymbol{A})(-\boldsymbol{A})=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2 . (E−A2)T=E−ATAT=E−(−A)(−A)=E−A2.
又对任意 x≠0x \neq 0x=0, 有
xT(E−A2)x=xTEx−xTA2x=xTx−xT(−AT)Ax=xTx+(Ax)TAx>0,\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0, xT(E−A2)x=xTEx−xTA2x=xTx−xT(−AT)Ax=xTx+(Ax)TAx>0,
得二次型 f(x)=xT(E−A2)xf(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2\right) \boldsymbol{x}f(x)=xT(E−A2)x 为正定, 所以矩阵 E−A2\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2E−A2 为正定矩阵.

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