离散傅里叶级数与离散傅里叶变换

1.离散时间周期信号：

$x[n]=x[n+N];(1)$

基波周期：使（1）成立的最小正整数N；

基波频率： $\omega_{0}=2\pi /N;(2)$

2.复指数信号：

$\phi (t)=e^{jk\omega _{0}t};k=0,\pm 1,\pm 2,...(3)$

其共轭信号为：

$\phi (t)=e^{-jk\omega _{0}t};k=0,\pm 1,\pm 2,...(4)$

补充：复指数信号为复数域上的信号，物理层面上不存在与之对应的信号，因此在现实世界常与其共轭信号一起出现使用（如式5）。

$e^{jk\omega _{0}t}+e^{-jk\omega _{0}t} =cos(k\omega _{0}t)+jsin(k\omega _{0}t)+cos(-k\omega _{0}t)+jsin(-k\omega _{0}t) =2cos(k\omega _{0}t);(5)$

离散复指数信号：

将式3中t替换成n得

$\phi _{k}[n]=e^{jk\omega _{0}n};k=0,\pm 1,\pm 2,...(6)$

补充：对于以k为变参数、n为自变量的一组离散复指数信号，由定义可知当 $\omega _{0}=2\pi /N$ 时， $\phi _{k+iN}[n]=e^{j(k+iN)\frac{2\pi }{N}n}=e^{jk\frac{2\pi }{N}n}=\phi _{k}[n]$ ；因此此时k只需要取[0,N-1]即能包含该组所有离散复指数信号（当然也可以取[3,N+2]等等）。

3.离散傅里叶级数：

考虑用一组离散复指数信号合成一离散时间周期信号，形式如下：

$x[n]=\sum_{k}^{}a_{k}\phi _{k}[n]=\sum_{k}^{}a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{N}n};(7)$

又考虑到k只需要取[0,N-1]，因此也可以表示为N项求和的形式，如下：

$x[n]=\sum_{k=<N>}^{}a_{k}\phi _{k}[n]=\sum_{k=<N>}^{}a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{N}n};(8)$

下面求解每一项的系数 $a_{k}$ ：

由式8可得线性方程组：

$x[0]=\sum_{k=<N>}^{}a_{k};(9)$

$x[1]=\sum_{k=<N>}^{}a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{N}};(10)$

......

$x[N-1]=\sum_{k=<N>}^{}a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{N}(N-1)};(11)$

其为一线性独立的线性方程组，对于比较简单的离散信号，可通过解该方程组求得 $a_{k}$ ；

下面给出上述方程组的通解求解思路：

需知道如下公式：

$\sum_{k=<N>}^{}e^{jk\frac{2\pi }{N}n}=\left\{\begin{matrix} N,k=0,\pm N,\pm 2N,...\\ 0, \end{matrix}\right.;(12)$

（该式可由复数的几何求和法证明）

对于求某一 $a_{k}$ ，将上述线性方程组每行左右乘以 $x[n]$ 对应的 $e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}$ （k,n为已知）后N行求和可得：

$\sum_{n=<N>}^{}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}=0\times a_{\neq k}+Na_{k};(13)$

最终可得：

$a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}^{}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n};(14)$

式8和14即为离散傅里叶级数对。

补充：由于离散时间周期信号为实数域上的信号，因此可知 $a_{-k}=a_{k}^{*}$ ；也即 $a_{N-k}=a_{k}^{*}$ ，在频域的幅值特征上体现为局部对称，这一性质将在离散傅里叶变换的实际应用中进一步体现。

4.离散傅里叶变换：

对于非离散周期信号，可以将其视为N为无穷大的周期信号进行分析：

此时可记 $\omega =\lim_{N\rightarrow \infty }k\frac{2\pi }{N},k=0,\pm 1,\pm 2,...(15)$

又由 $\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{N}=\lim_{\omega _{0}\rightarrow0 }\frac{\omega_{0} }{2\pi }=\frac{d\omega }{2\pi };(16)$

代入式8和14得

$x[n]=\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{k=<N>}^{}a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{N}n}=\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{k=<N>}^{}\frac{1}{N}(\sum_{n=<N>}^{}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n})e^{jk\frac{2\pi }{N}n}=\frac{1}{2\pi }\int_{2\pi }^{}(\sum_{n=\infty }^{}x[n]e^{-jwn})e^{jwn}d\omega ;(17)$

若记 $X(e^{j\omega })$ 为离散傅里叶变换，

则由式17可得离散傅里叶变换对：

$x[n]=\frac{1}{2\pi }\int_{2\pi }^{}X(e^{j\omega })e^{jwn}d\omega ;(18)$

$X(e^{j\omega })=\sum_{n=\infty }^{}x[n]e^{-jwn} ;(19)$

补充：式17中积分区间为 $2\pi$ 而非无穷大，因为积分上限为 $k*dw|_{k=N}=\lim_{N\rightarrow \infty }N*\frac{2\pi }{N}$ 。也可理解为由于其为离散信号，因此 $\frac{2\pi }{\omega }<1$ 的部分频率细节丢失，因此会复现 $[0,2\pi ]$ 的频率信息，频域上整体呈现周期特征，但该部分频率特征并没有实际的应用价值。

5.离散傅里叶级数和离散傅里叶变换间的联系：

离散傅里叶级数更适用于计算离散时间周期信号，离散傅里叶变换则是为了分析一些离散非周期信号。在实际应用中，为了避免计算积分，也可对离散非周期信号两边进行处理，将其看成周期信号，然后使用傅里叶级数的方法进行分析。

同时离散傅里叶级数也可以看成离散傅里叶级数的特殊情况。在使用傅里叶变换处理离散时间周期信号时，可完全按照傅里叶变换的公式进行计算，不同的是会引入冲击函数。在此补充一个重要积分：

$\int_{-\infty }^{+\infty }e^{\pm jwt}dt=2\pi \sigma (w);(20)$

关于傅里叶变换还有很多性质，在此不一一赘述，其本质上均是傅里叶运算法则的性质，参考其基本概念将更加便于理解并更好的应用于工程中去。

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