线性代数学习笔记6-1：行列式与线性变换

行列式：用面积的变化描述线性变换的效果

之前说过，线性变换就是一种操纵空间和变换坐标轴的手段，它保持原点固定且网格平行等距；
有的线性变换将空间拉伸，有的线性变换将空间向内挤压（如剪切/切变变换），有的甚至将空间压缩至维度降低（对应的矩阵中列向量线性相关）

那么，如何衡量线性变换对空间的拉伸/压缩效果呢？或者更具体的，给定一个区域，如何测量其面积增大/缩小的比例呢？

我们只考虑一个1x1的单位正方形（即两个基向量围成的区域）面积变化的情况

可见，经过一个线性变换后，其面积变为3x2=6倍
一般的，这种面积缩放的比例如何计算呢？——用行列式

上图证明了，矩阵行列式determinant（的绝对值），就是相应线性变换后任一区域的面积变化比例
那考虑其他区域面积的变化情况呢？
实际上，上面的1x1正方形的面积变化已经说明了一切：
①其他矩形区域的面积变化比例与之相同（这是由于线性变换的比例性决定的）；
②而对于一般的不规则区域，可以用微分思想，将其视作由无数不规则的小正方形组成，面积变化比例也与正方形相同。

行列式为何有正负？

行列式为负值，一个区域如何缩放“负数倍”呢？
实际上，这与数学上的定向Orientation的概念有关。

对于二维空间，原来的基向量 i \boldsymbol i i位于 j \boldsymbol j j的右侧，如果线性变换后， i ′ \boldsymbol i' i′位于 j ′ \boldsymbol j' j′的左侧，这就改变了空间的定向（理解为一张纸被翻转到另一面，感觉像这个变化让空间“翻转”了），此时行列式为负值
对于三维空间同理，原来三个基向量满足坐标系的右手定则，如果变换后不满足了，则空间的定向被改变，此时行列式为负值

如何直观理解空间定向的改变与行列式负值（负的面积改变）的关系呢？
考虑二维空间中的一个剪切变换：
i \boldsymbol i i轴逐渐靠近 j \boldsymbol j j轴，过程中空间不断被压缩，因此行列式为正值且不断减小；
当两个轴重合，此时的变换使得空间降维至一条线，所有面积变为0，因此行列式为0；
i \boldsymbol i i轴继续逆时针转动，逐渐远离 j \boldsymbol j j轴，空间定向改变，行列式继续减小为负值，但是过程中空间又扩张了，因此行列式绝对值（面积变化比例）又开始增大了

总之，严格来说，行列式表示有向面积/有向体积（三维时就是体积）的变化比例
或者说，行列式的绝对值表示相应几何图形的面积/体积，其中，这个几何图形的所有边由行列式的行/列向量给出（理解为：原来在标准正交坐标系，坐标轴围成的几何图形的面积/体积为1，故变化比例=线性变换后的图形面积/体积）

行列式为0

根据上面的讨论，行列式为0（i.e. 面积变化比例为0）说明面积被压缩为0，也就是说，空间被压缩至降维！那么对应的矩阵必然列线性相关（变换后有多余基向量无法张成更高维空间，也即基向量线性相关）

注意前提：方阵才有行列式！

几何意义：

当变换前后，空间的维度相同（变换矩阵是方阵），我们考虑“有向面积/体积”的变化比例才有意义
如果变换后，空间维度已经被压缩（变换矩阵不是方阵），那就没必要看行列式了
（少一个维度怎么谈论“体积”呢？或着，可以简单理解为此时“行列式”即面积缩放比例为0，没必要再讨论了）

总结

矩阵的行列式是一个数，它衡量了线性变换对于空间的拉伸/压缩效果
行列式表示有向面积/有向体积（三维时就是体积）的变化比例
行列式的正负：表示空间定向是否改变
行列式的绝对值：表示面积/体积的缩放比例
用几何的思想理解行列式是有意义的，例如可以简单的证明 d e t ( M 1 M 2 ) = d e t ( M 1 ) d e t ( M 2 ) det\mathbf {(M_1M_2)}=det\mathbf {(M_1)}det\mathbf {(M_2)} det(M1M2)=det(M1)det(M2)

线性代数学习笔记6-1：行列式与线性变换相关推荐

线性代数学习笔记6-2：行列式的理解、行列式的性质
再次强调,方阵才有行列式! 行列式尽可能多的压缩了方阵的信息,之前说过行列式代表线性变换中有向面积/有向体积的变化比例因此, d e t ( A ) = ∣ A ∣ = 0 ⟺ det(\mathb ...
线性代数学习笔记6-3：行列式的计算、代数余子式
下面介绍两种行列式的计算方法根据基本性质计算行列式之前说过三个基本性质: 单位阵的det(I)=1det(\mathbf I)=1det(I)=1 交换行列式的两行,行列式正负反号关于" ...
线性代数学习笔记——第四章学习指南——n维向量空间
一.学习内容及要求 1. 内容: §4.1. n维向量空间的概念线性代数学习笔记--第四十讲--n维向量空间的概念线性代数学习笔记--第四十一讲--n维向量空间的子空间 §4.2. 向量组的线性相 ...
线性代数学习笔记10-4：左右逆、伪逆/M-P广义逆（从四个子空间和SVD角度理解）
下面讨论m×nm\times nm×n的秩为rrr的矩阵对于不同情况,讨论逆矩阵两侧逆矩阵 2-sided inverse 这也是一般所说的"逆矩阵"的含义方阵A\bolds ...
线性代数学习笔记（二十二）——向量间的线性关系（二）
本篇笔记首先介绍了线性相关和线性无关的概念,关键是找到一组不全为零相关系数使得等成立:然后重点介绍了一些重要的结论,以及向量组线性相关和线性无关的几个充要条件. 1 线性相关与线性无关线性相关:设 ...
线性代数学习笔记（十五）——初等变换（一）
本篇笔记首先讨论了矩阵的初等变换,包括初等行变换和初等列变换两类,每一类初等变换又有三种变换规则,需要注意该初等变换与行列式对应的性质没有任何关系:然后讨论了初等变换和标准形的关系,任意矩阵都可以通过 ...
线性代数学习笔记2-2：向量空间、子空间、最大无关组、基、秩与空间维数
向量空间向量空间就是一些向量的集合,并且满足:向量空间对于这些向量的线性组合封闭(任意向量间的加法.数乘,得到的向量仍属于这个向量空间) 具体来说,向量空间中的元素(向量)的加法和数乘满足8条公理 ...
线性代数学习笔记（二十九）——方程组解的结构（一）
停更2年多了,做事得有始有终,继续更新... 本篇笔记回顾了线性方程组解的三种情况,并讨论了齐次线性方程组解的结构,并介绍了齐次线性方程组解的相关性质.其中重点讨论了基础解系定义,以及基础解系的求法和 ...
线性代数学习笔记（四）——行列式按行展开
本篇笔记介绍了行列式按行或按列展开定理.异乘变零定理.拉普拉斯定理和行列式相乘定理. 1 行列式按行(列)展开定理余子式:去掉行列式指定元素所在行和所在列元素后得到的新行列式(顾名思义,即剩余子集行 ...