线性代数学习笔记6-3：行列式的计算、代数余子式

下面介绍两种行列式的计算方法

根据基本性质计算行列式

之前说过三个基本性质：

单位阵的det(I)=1det(\mathbf I)=1det(I)=1

交换行列式的两行，行列式正负反号

关于“线性性质”
①矩阵某一行元素乘以k，行列式变为k倍：∣tatbcd∣=t∣abcd∣\left|\begin{array}{cc} t a & t b \\ c & d \end{array}\right|=t\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|∣∣tactbd∣∣=t∣∣acbd∣∣
②行列式的“行”有线性性（强调一行，而非整个行列式有线性性）：∣a+a′b+b′cd∣=∣abcd∣+∣a′b′cd∣\left|\begin{array}{cc} a+a^{\prime} & b+b^{\prime} \\ c & d \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} a^{\prime} & b^{\prime} \\ c & d \end{array}\right|∣∣a+a′cb+b′d∣∣=∣∣acbd∣∣+∣∣a′cb′d∣∣

由此，一般n×nn\times nn×n行列式的计算，可以拆分为nnn^nnn个[含有nnn个非零元素]的行列式（这些含大量零元素的行列式，可以通过行交换轻易计算出其值：就是所有对角线元素相乘，最多需要前面添一个负号）

具体而言，由性质3②，先是拆分第一行（得到nnn个行列式），在拆分第二行（之前的每个行列式又拆分出nnn个行列式）…

例如：
∣abcd∣=∣a0cd∣+∣0bcd∣=∣a0c0∣+∣a00d∣+∣0bc0∣+∣0b0d∣=0+ad−bc+0=ad−bc\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right| &=\left|\begin{array}{ll}a & 0 \\c & d\end{array}\right| +\left|\begin{array}{ll}0 & b \\c & d\end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ll} a & 0 \\c & 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}a & 0 \\0 & d\end{array}\right| +\left|\begin{array}{ll}0 & b \\c & 0\end{array}\right| +\left|\begin{array}{ll}0 & b \\0 & d\end{array}\right| \\ &=0+a d-b c+0 \\&=a d-b c\end{aligned}∣∣acbd∣∣=∣∣ac0d∣∣+∣∣0cbd∣∣=∣∣ac00∣∣+∣∣a00d∣∣+∣∣0cb0∣∣+∣∣00bd∣∣=0+ad−bc+0=ad−bc

提炼一般规律：最终分解后，有全零行/全零列的行列式都必然为0，故拆分时只需要关注「每行/每列都有非零元素」的“有用”行列式

提炼行列式的计算公式

根据上面的讨论，n×nn\times nn×n行列式的计算，最终可以拆分为n!n!n!个[含有nnn个非零元素]的行列式
（通过拆分本来可以得到nnn^nnn个行列式，但其中有很多必然为0，只有n!n!n!个行列式是「每行/每列都有非零元素」的“有用”行列式，也就是说其值不是一定为0）

具体而言，选取其中某个行列式时，先从第一行确定一个非零元素（第一行拆分出nnn个行列式），然后从第二行确定一个非零元素（不能与之前非零元素处于同一列，从而每个行列式又拆分出n−1n-1n−1个行列式），以此类推

行列式的公式表示为det⁡(A)=∑n!±a1αa2βa3γ⋯anω\det (\boldsymbol{A}) = \sum\limits_{n!} { \pm {a_{1\alpha }}} {a_{2\beta }}{a_{3\gamma }} \cdots {a_{n\omega }}det(A)=n!∑±a1αa2βa3γ⋯anω
其中(α,β,γ,...,ω)(\alpha,\beta,\gamma,...,\omega)(α,β,γ,...,ω)为列号(1,2,3,...,n)(1,2,3,...,n)(1,2,3,...,n)的一个排列，每一项±\pm±取正号/负号取决于通过偶数次/奇数次行交换能够得到对角阵

例如下面的行列式，只可能拆分出两个“有用”行列式，第一个需要一次行交换得到对角阵，第二个需要两次行交换得到对角阵：
∣0011011011001001∣=∣0010010010000001∣+∣0001001001001000∣=−1+1=0\left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|= \left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right| +\left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=-1+1=0∣∣0011011011001001∣∣=∣∣0010010010000001∣∣+∣∣0001001001001000∣∣=−1+1=0

代数余子式Cofactor formula

代数余子式将nnn列行列式的计算转化为多个n−1n-1n−1阶行列式的计算，同时也从另一角度表述了上面进行的拆分

本质上还是利用上面的思想，若从第一行开始拆分，一旦选定第一行的某个元素a1αa_{1\alpha }a1α，（将要与a1αa_{1\alpha }a1α相乘的）剩余因子只能从剩下的n−1n-1n−1行和n−1n-1n−1列中选出，按照之前的做法实施进一步拆分后得到若干行列式，即∑(n−1)!±a1αa2βa3γ⋯anω\sum\limits_{(n-1)!}{ \pm {a_{1\alpha }}} {a_{2\beta }}{a_{3\gamma }} \cdots {a_{n\omega }}(n−1)!∑±a1αa2βa3γ⋯anω，提取公因子a1αa_{1\alpha }a1α，另一部分称为代数余子式Cofactor，其值具体是什么呢？

这里直接给出结论：
剩余的n−1n-1n−1行和n−1n-1n−1列的行列式是aija_{ij}aij的余子式minor
将要与aija_{ij}aij相乘的另一部分因子就是 [余子式+正负号] 称为aija_{ij}aij的代数余子式CijC_{ij}Cij，CijC_{ij}Cij在i+ji+ji+j为偶数/奇数时取正/负

行列式的代数余子式表示为det⁡(A)=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1n\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=a_{11} \mathrm{C}_{11}+a_{12} \mathrm{C}_{12}+\cdots+a_{1 \mathrm{n}} \mathrm{C}_{1 \mathrm{n}}det(A)=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1n
上式是沿第一行展开的结果，实际上可以沿任意一行/一列展开

计算行列式的方法小结

之前说过，最简单的方法是主元表达式

主元表达式：通过4-2中介绍的性质，将行列式“消元”化为上三角阵，此时行列式=所有主元乘积
（有主元为0说明不可逆，则行列式为0）
分解为n!n!n!个含有大量零元素的行列式：det⁡(A)=∑n!±a1αa2βa3γ⋯anω\det (\boldsymbol{A}) = \sum\limits_{n!} { \pm {a_{1\alpha }}} {a_{2\beta }}{a_{3\gamma }} \cdots {a_{n\omega }}det(A)=n!∑±a1αa2βa3γ⋯anω
代数余子式表示：det⁡(A)=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1n\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=a_{11} \mathrm{C}_{11}+a_{12} \mathrm{C}_{12}+\cdots+a_{1 \mathrm{n}} \mathrm{C}_{1 \mathrm{n}}det(A)=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1n
原理源于上一个公式，但难度降低