线性代数一(基本概念)
- ① https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/88378009 ---------- 几个重要的矩阵点积
- ② AB等价 、 AB相似 、 AB 合同。
- ③ C’C一定是对称矩阵(C’C的转置 == C’C)
一、线性代数基本知识:
1、线性:
数乘运算与加法运算 呈现 线性。
2、
二、向量:
1、向量的表示方法:
其中的 i、j、k是坐标轴方向的单位向量。
2、向量的模:
用坐标计算的方法:
3、向量的运算:
(1)向量的加法减法:
(2)向量的数乘:
拉格朗日乘数法的 基础 公式。
(3)向量的数量积(点积、内积):
(4)向量的的向量积(外积、叉积):
(5)正交向量:
三、矩阵基本知识:
- 理解:①矩阵是一个向量组,由许多 行向量 和 纵向量 组成。
- ②矩阵方程求解 用增广矩阵初等变换化为 E 。齐次/非齐次方程组 的解用 初等变化 化为 行最简阶梯型。
- ③初步认为由多元一次方程组的系数组成(区别于矩阵初等变换求解矩阵方程)。矩阵是一种线性变换,可以将一些向量转化为另一种向量。
- ④ 矩阵乘法没有消去律与交换律
2、矩阵的直观感受:
3、矩阵与向量:
理解:A(m*n)每一行 或者 每一列 都属于 向量。
四、矩阵的分类:
1、相等矩阵:
①矩阵的形状相同(行数的列数)
②对应元素相同。
2、同形矩阵:
矩阵的形状相同。
3、方阵:
只有方阵才具有对角线。
矩阵A中 m = n,称之为方阵。
4、负矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵:
5、对角矩阵:是方阵
1、对角矩阵的展示:可以用 上尖角 符号表示,如下:
2、对角矩阵的迹: trA
7、单位矩阵:常常用 E或I 来表示。它是一个方阵。
特性:A * E = A (A的列 = E 的行数)任何 矩阵 * 单位矩阵都是它本身。
8、零矩阵:
记号用 0 来表示。
9、对称矩阵:方阵
注意:对称矩阵一定是方阵(只有方阵才有对角线)。
五、矩阵的运算:
1、矩阵的加减:
前提:两个矩阵必须是同形矩阵。
矩阵加减具有交换律,矩阵矩阵相乘没有交换律。
计算结果:元素级运算。
2、矩阵的数乘:
计算结果:元素级运算。这里要区别与行列式的数乘。
3、矩阵与向量的乘法:
前提:矩阵的列数等于向量的行数。
- 计算方式:左列 = 右行条件下 ,前行 * 后列 对应元素乘积的和。
4、矩阵与矩阵的乘法:
得到的新矩阵由 左行右列 决定 行与列。即:(m*n)* (n*s) >>>> (m*s)
- 注意:矩阵与矩阵的乘法中没有交换律: AB != BA(A B 互逆除外 )
- 当A逆矩阵存在时时:AC = AD >>>>> C = D 原因:并不是消去律,而是两边同时 乘上 A的逆矩阵化简。
5、矩阵的转置:
理解:对角线翻转。
转置的性质:
六、行列式基本知识:
1、行列式的特性:
理解:矩阵的一种运算方式。
①行列式一定是个方阵。
2、行列式的计算方法:
定义:所有不同行不同列的元素组合乘积的和。
(1)通过行列式的定义去计算:对角法则。
- 逆序数的概念:t
- 方阵行列式计算方法
方阵行列式的值:所有不同行不同列的元素的代数和(正负号有行与列的逆序数决定) -------- 对角线法则的本质
(2)利用行列式的性质将行列式转化为上三角行列式:
转化时:从下到下,从左向右。
①行列式的性质 :
性质一:
本质:行列式的逆序数改变,符号要发生改变
性质二:行列式的数乘(一定要区别于矩阵的数乘)
性质三:
行列式如果某一行或某一列与另一行或者另一列存在倍数或者相同,行列式的数值为零。
性质四:行列式之间的加法:
前提:①两个行列式形状相同。②两个行列式仅有一行或一列的元素不相同。
结果:相同元素覆盖照抄,不同元素的行全部对应相加。(列同理)
例:
性质五:
例:
答案:
(3)根据某行或者某列的代数余子式展开:
对于任意 一行/一列 展开
3、行列式余子式和代数余子式:
以三阶行列式为例:
4、伴随矩阵:
表达式结论: A 是一个 n阶 方阵。E 单位矩阵。
该结果是一个对角矩阵,对角线的元素都是 | A | 的 值。
即:
5、方阵的逆:只有方阵才有逆。
1、可逆矩阵的定义:
理解:① 可逆方阵 <<< >>> 可以初等变换为 E 即: AB = BA = E ② 可逆方阵 <<< >>> | A | != 0 ,即 可逆矩阵(非奇异矩阵)是满秩的方阵③ 可逆矩阵向量组中的向量均线性无关(存在线性相关的向量组不是满秩矩阵)
2、方阵可逆的充要条件: 两个条件等价。
①
② 矩阵行列式的值 | A | != 0 。
3、可逆方阵的性质:
4、n阶方阵逆矩阵的计算:
第一种方法:
②第二种方法:
利用A 与 E 的增广矩阵 的初等变换 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.. 求解出 A的逆矩阵。
七、矩阵的初等变换:
- 注意:矩阵换行与行列式换行不同(行列式的换行值的符号会发生变化)
- 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为初等变换。
- 可以通过 初等行变换 转化为 E 的方阵为可逆方阵,否则为奇异矩阵。
- 初等变换的顺序: 将哪行下面(上面)的数值化为零就将 该行 数乘整数 加到下面(上面)的行上
矩阵初等变换的理解:线性方程组加减消元。
初等变换的三种方式:
1、增广矩阵:
记做: B = (A,b)
2、初等变换的性质:
2、矩阵初等变换的分类:
(1、普通的行阶梯矩阵:
(2、行最简形矩阵:
(3、标准形矩阵:
特性:
3、初等变换的定理:
其中: PA = B 是初等变化的 代数 表达形式。P是某个可逆方阵。
方阵可逆的充要条件:
4、初等变换的应用:
(1)利用初等行变换求解逆矩阵:
- 例:求解A 的逆矩阵:
- 思路:将A 与 E 创建 增广矩阵 B , B= (A,E) >>>>> 通过初等行变换 >>>>>> (E,P) P 就
- 是A的 可逆矩阵:P * A = E。
(2)利用初等行变换求解方程组的解:
思路:类似上述求解逆矩阵的方法:
解法:增广矩阵:
https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/84864555
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