线性代数回顾

我们要开始接触直线斜率的概念了，证明了开始要学习导数了，

这里我们会做一个自理，顺便回顾一下线性代数的知识。

怎么求一条直线的斜率呢？如图：

首先，这个直线方程是：f(x) = mx + b。（其实m就是斜率）

我们的方法是在直线取两点：

x = a，把a代入方程，所以y=f(a)。

x = b，把b代入方程，所以y=f(b)。如图：

那我们怎么求两点的斜率？也就是求这条直线的斜率。

（注意：直线任意点的斜率都是同一个常数）

斜率等于上高度比上跨度。如果你刚学线性代数时你们会看这个定义。

另一种方法：斜率等于y增量比上x增量。我们使用这个公式来求出斜率：

$Slope=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

首先， $\Delta y$ 是多少？也就是 y 的增量是多少？

我们在图中可以看到 y 的增量，其实就是这里（绿色的线）：

它就是 $f(b)-f(a)$ ，所以 $\Delta y=f(b)-f(a)$ 。

那么， $\Delta x$ 是多少？也就是 x 的增量是多少？

我们在图中可以看到 x 的增量，其实就是这里（红色的线）：

它就是 $b-a$ ，所以 $\Delta x=b-a$ 。所以我们得到：

$Slope=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

把它们代到这里来计算就得到斜率了。这是很简单的。

现在我们a上面的点坐标设置为（3，4），b上面的点坐标设置为（6，8）。

如果我们要求直线的斜率：

$Slope=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{8-4}{6-3}=\frac{4}{3}$

得出斜率为4/3。

曲线概念

下面我们继续推广斜率的定义，也就是我们探究微积分时，将会学到新的概念。

我们要把这个斜率推广到曲线。

什么是曲线的斜率？

我们先画个曲线，方程是y = x^2 ，如下一个曲线图：

假设我们要具体求出这一点的斜率：

事实上，求某一点的斜率之前，我们必须先弄懂什么是曲线的斜率。

我们知道，直线的斜率是一直不变的。但对于曲线，它的斜率是变化的。

以上图上的那一点的斜率就是该点切线的斜率。就是刚好与曲线相切的直线，这的斜率就是这一点的斜率。如图：

这一点的斜率是负数。然后这点，它的斜率也是负的，但是这个负数的绝对值稍小。就像这样：

接着正向增加，斜率又变成递增了，我在画另一条切线，如图：

直线的斜率是不变的，你可以在直线上取任意两点，然后求出y和x的增量之比，就得到整条直线的斜率了。

但你们已经看到对于曲线，求它的斜率就稍微不同了。

我们来做个试验：

如果这时我想求这一点的斜率，我们该怎么做？

根据斜率的定义，求斜率需要两个坐标点。只有一个点的话，我们不知道怎么求斜率。

我们先令这一点的横坐标为x，我们取一个稍微大一点的点。如图：

那么，它们在曲线上的纵坐标是多少？曲线方程是y = f(x)。

那么这相当接近的两点，它们之间的斜率是多少呢？

请记住，现在求的还不是这一点的斜率，现在求的是这两点连线的斜率。割线和曲线相交两点：

我放大图那两点之间的图：

下面橙色点的坐标是 $(x_{0},f(x_{0}))$ ，上面绿色点的坐标是 $(x_{0}+h,f(x_{0}+h))$ 。

不管线性方程是什么，把横坐标代进去求得的就是纵坐标。

任意去两点，作为切入点。我们先问自己这条斜率是多少呢？

求直线斜率先求出y增量，然后用它比上x增量，如图：

黄色就是x和y的增量部分，然后这条割线的斜率是多少呢？我们根据公式得出：

$Slope = \frac{f(x^{0}+h)-f(x^{0})}{(x^{0}+h)-x^{0}} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

我们先把它简化一下：

$Slope = \frac{f(x^{0}+h)-f(x^{0})}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

我们定义坐标的时候是令第二点比第一点大某个数h，而我们有一种叫"极限"的数学工具。

h是个一般化数据，可以是任何数。至少理论上是可以假设的。

如果令h无限趋近于0会怎么样？

首先，这里h可能是一个很大的数，但如果我令h变小一点，任何我们求这条新割线的斜率，如图：

然后继续令h变小一点，又求一次新割线的斜率：

一直这样变小。当h逐渐趋近与0，我求出的割线斜率就越来越接近，一直到所要求的那个点的切线的斜率了。

显然，如果h很大割线的斜率和那个确切的点的斜率相差十万八千里。

但如果h是0.00000001的话，两个斜率就非常接近了。

所以，我取 h 趋于0这一极限会怎么样呢？

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x^{0}+h)-f(x^{0})}{h}$

（有教材把h写成 $\Delta x$ ，是一样的。）

我们就令该表达式为这点切线的斜率，这个式子我们称为f(x)的导函数，我把它写下来：

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x^{0}+h)-f(x^{0})}{h}$

记住，曲线上的每一点斜率都不一样。不管你取什么x值，它都对应一个不同的斜率。

现在可以利用这个公式，把任意x值代入，求出那一点斜率。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

2.导数——线性代数回顾、曲线概念_1相关推荐

斯坦福大学吴恩达机器学习教程中文笔记——week1——引言，单变量线性回归，线性代数回顾
第1周文章目录第1周 @[toc] 引言(Introduction) 1.1 欢迎 1.2 机器学习是什么? 1.3 监督学习 1.4 无监督学习二.单变量线性回归(Linear Regress ...
【吴恩达机器学习笔记】1引言、单变量线性回归、线性代数回顾
1引言(Introduction) 1.1欢迎(Welcome) 1.2机器学习是什么(What is machine learning?) Arthur Samuel(1959):机器学习是在没有进 ...
第三章线性代数回顾-机器学习老师板书-斯坦福吴恩达教授
第三章线性代数回顾 3.1 矩阵和向量 3.2 加法和标量乘法 3.3 矩阵向量乘法 3.4 矩阵乘法 3.5 矩阵乘法特征 3.6 逆和转置 3.1 矩阵和向量 3.2 加法和标量乘法 3.3 矩 ...
吴恩达机器学习（第三章）——线性代数回顾
第三章-线性代数回顾文章目录第三章-线性代数回顾矩阵和向量矩阵的加法矩阵的乘法矩阵标量乘法矩阵向量乘法矩阵乘法矩阵乘法的性质矩阵的逆.转置矩阵和向量矩阵(Matrix) 是一个 ...
线性代数回顾.pptx
机器学习,需要一定的数学基础,需要掌握的数学基础知识特别多,如果从头到尾开始学,估计大部分人来不及,我建议先学习最基础的数学知识. 这个是我考研考博时候整理的中文教材的资料,分为高等数学.线性代数.概 ...
GAMES101课程学习笔记—Lec 02：Linear Algebra 线性代数回顾
GAMES101课程学习笔记-Lec 02:Linear Algebra 线性代数回顾 0 图形学的依赖学科 1 向量 1.1 点乘 1.2 叉乘 2 矩阵本节课知识比较基础,大学课程里应该都学过, ...
6.边缘检测：梯度——回顾、简化的图像、边缘概念_1
目录回顾简化的图像边缘概念回顾上环节,我们开始讨论过滤作为一种在图像中找到特定模式的方法. 我们讨论了模板查找.这个想法是给定一些模式,相关或卷积是在图像中找到那个模式的一种方法. 我们假设 ...
人工智能数学基础--导数1：基础概念及运算
一.导数的定义导数(Derivative),也叫导函数值.又名微商,是微积分中的重要基础概念.当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在 ...
机器学习笔记（3）：线性代数回顾
目录 1)Matrices and vectors 2)Addition and scalar multiplication 3)Matrix-vector multiplication 4)Matr ...

2.导数——线性代数回顾、曲线概念_1

目录