前言：围绕线性代数的本质，已经写了好多篇了，这里也许越来越走向本质。本质就是你根本不需要讨论向量空间，只需要考虑之前定义的向量的基本规则，然后，推而言之，推广到任何类似的场景下的应用，从而成为数学和其他任何应用的链接桥梁。

1 向量和矢量的本质：

在前面几节，以及向量的定义，我们都理解向量为一个带方向箭头和坐标的东西。然而，他也可以表述为一队数字，这个数字的排列就是方向。所以，可以理解他是一队数字。

1.1 将向量解释为数【实数】

1.2 向量和函数的对应关系：

既然，向量可以看出是一个数队，也就是一个映射，

那么，我们能否，把这个映射变成函数呢？因为函数也是一种映射。

所以，应该可以将函数看成是向量：

举例：两个函数相加，

一般我们理解为复合函数？复合变量？，例如，在-4点的函数值是，

推而广之，如果和向量坐标的相加比较类似：

【理解为，每个函数值为一个向量的话，这个函数的相加就可以理解为是无数个向量的坐标相加】

而，对于拉伸的值域，如下，

同样可以理解为，无数个向量的坐标的数乘。

而向量的计算就是相加和数乘两个，这样由于是线性变换，之前这些不受变换影响的内在特性，例如，

这些向量的思想是不是可以也用于函数的处理，

【案，这是笔者一个重大的思想建议】

举例：

理解为，线性变换对应于函数的变化，例如下面的函数变换

函数的线性变换也是一样，这个变换接收一个函数，然后把它变成另一个函数。

2 函数的线性变换

2.1 提问：

2.2 之前的定义如下：

几何表现，在网格的均匀化，

而，之前讨论，一个线性变换，可以通过他对基向量的作用来描述，而引入矩阵的乘法

【之前的基变换，就是将一个线性变换看成是一组基变换，从而简化计算】

而任意一个向量，都可以表达为基向量以某种方式进行线性组合，

所以，求任意一个向量的变换后的结果，就是可以看成是变换后的基向量以原来的线性组合重新组织一个向量的结果。

【案，也就是你不是一个线性变换码，我先搞基的变换，然后再搞线性组合】

第一步，先搞基向量

第二步，再执行线性组合

2.2 自然的联想到微分学的问题：【因为感觉很像】

2.2 矩阵表述求导

整个空间应该包括任意的次幂的多项式

2.2.1 首先选择一个基，既然讨论函数，那么就是基函数：

多项式其实已经写成了线性组合的形式：

那么，显然，讲不同的次幂作为基函数是异常合理的。

这就是一组基函数，

而基函数，和之前定义的基向量的深度本质是一样的。

只不过，因为多项式的次幂可以是任意高，也就是这个基函数是无穷大的一个纬度，或者说基函数的数据集为无穷大。

其实，我们就可以理解为由无穷多个维度，或者说无穷多个坐标的基向量。

2.2.2 用加零表述无穷多纬度的基函数

那么怎么表述呢，我们就加无穷多个0别，

再举例，

推而广之，

2.2.3 用左乘表述求导

这样，一个求导的通用表达，就转换为一个无限的阶的矩阵了

【他由无限的基函数构成，每个基函数有无限个维度】

【案，求导，看成是一个线性变换，而0，1,2,3 对应的意义，后面小结会再讲到如何对应导数，先理解表示按顺序的次幂排列】

然后，我们乘以集函数【对应原来的线性变换乘以基向量】

2.2.4 开始计算这个求导过程：

用矩阵运算规则去计算，我们知道，第一个变换后的坐标只有1x4这个项，

【案，这个就是求导结果4】

变换后的第二个坐标，

最后，得出，

2.2.5 也就是，小结一下，构建求导的计算矩阵的方法：

1 选择基函数

2 对每个基函数求导

3 结果放到对应的列【按照降幂排列的顺序，注意这可理解为方向】

由此，我们将矩阵乘法和求导关联起来了，

概念提出，线性代数中的概念，再函数的引用领域其实由对应关系。

推而广之，

向量的概念可以类比很多东西，

本节的本质，就是要学会推而广之，找到普适性的思考方法：

并得出公理：

注意思想上的理解，

定义的公理，公理并不是自然法则，而是一个媒介，他连接了要把这些结论应用到新的领域的机会。

参考：

线性代数的本质（十）——抽象向量空间_LFasd97的博客-CSDN博客_抽象向量空间https://blog.csdn.net/LFasd97/article/details/82782336

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=15

词汇：

Derivative 求导

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