柏拉图主义算术化方法和哥德尔数—

柏拉图主义算术化方法和哥德尔数——读哥德尔之五

随意翻看哥德尔的轶闻琐事，他的一些奇怪直觉引人关注和思考。其中的一个奇怪直觉特别有趣，哥德尔竟然是个彻底的“反经验主义者”，他描述的东西几乎与实在世界毫不相干。用戈德斯坦的一段评论，哥德尔与爱因斯坦一样，他们致力于超越人类的所谓经验，尤其是致力于超越逻辑实证主义者所完全依赖的经验。这两位学术巨擘，全都是在用自己的发现，描述他们“视野之外”的神秘世界。（参见：戈德斯坦《不完备性》湖南科技出版社中文版第25页）。
爱因斯坦发现的东西，属于理论物理学，他的“视野之外”似乎还有那么一点实在和经验可言可感。谈及哥德尔，则纯然是“视野之外”，纯然抽象的数学和逻辑范畴，一点都用不到人类与生俱来的感觉器官，你简直从中就感受不到一丁点实在世界的影子。哥德尔对于人类视野的这种超越，称为数学的柏拉图主义。当阅读哥德尔定理，稍稍理解哥德尔的形式化系统之后，你开始理解哥德尔的算术化思路时，这个数学柏拉图主义，看来也是理解哥德尔的一个背景，有必要在“算术化”的理解之前，先来领悟领悟这个神秘的观念世界。
柏拉图照（公元前427-前347）

标题一、哥德尔的“数学柏拉图主义”

多元世界的多元，首在观念的多元。这个世界的最可爱之处，就在于智者为这个世界发现的诸多故事，而不在那些低俗的打打杀杀，拼勇斗狠。数学柏拉图主义非三言两语可以描述，但好在有智者精彩著作留世，虽时隔多年，依然是描述柏拉图主义的经典。如若想理解数学柏拉图主义，英国数学家哈代Hardy，Godfrey Harold（1877-1947）的留世经典著作《一个数学家的辩白》，恐怕是最合适的一本书。哈代一生反战，一生提携后学，据载，中国著名数学家华罗庚就曾受教过哈代。哈代支持罗素的和平抗争，他还与英国另一位著名数学家李特尔伍德，共建了英国的数学分析学派。大概可以说，喜欢数学的人，大都没有理由不对这个哈代肃然起敬，也没有理由不欣赏他所描述的柏拉图主义。
哈代照

哈代在他的经典著作《一个数学家的辩白》中，坦然表示自己是柏拉图主义的信徒，这个柏拉图主义正如他在书中所言：

我相信数学实在存在于我们之外，我们的任务是去发现或观察它。而且，我们所证明的定理，我们夸耀称之为“创造物”的，只不过是我们的观察记录而已。自柏拉图以来很多享有盛誉的哲学家都持有此观点，虽然形式多异。我采用的语言对持有这种看法的人来说是很自然的…
这种数学的实在论观点比物理实在似乎更合理一些，因为数学的实体更接近他们所看到的。一把椅子或一颗星星一点都不像他们看起来的那样，我们对之想得越多，感觉的迷雾就越会使它的轮廓模糊不清。但是“2”和“317”与感觉无关，我们观察得越仔细，它们的性质就越清晰。也许现代物理学最适合于唯心主义哲学框架——我不相信这一点，但有些著名的物理学家就是这么说的。纯数学在我看来倒是唯心主义的绊脚石：317是个素数，并不因为我们是这样认为，或是我们的思想以某种特定的方式形成，而是因为它原本如此，因为数学实在就是这样建立的。
（参见哈代著《一个数学家的辩白》中译本）

哈代这种数学柏拉图主义的说法，十分精妙，但我认为，另一位英国人，2020年的诺贝尔奖获得者，现代数学物理学家彭罗斯（1931年-）的一段话，似乎更精妙地说明了：什么是数学柏拉图主义。
彭罗斯照

在数学中，至少对于其中某些最基本的概念、某种天国的不朽存在的信念比在其他情形下更强烈得多。在这种数学观念中，存在比在艺术和工程中强烈得多的令人信服的唯一性和普适性。数学观念可在这样一种超越世间的天国的意义上存在的思想，是在古代（公元前360年左右）由伟大的希腊哲学家柏拉图提出的。随后，这种思想就时常被称为数学柏拉图主义。它以后对于我们很重要。
（参见彭罗斯著《皇帝心脑》中译本）

柏拉图主义“以后对我们很重要”，其实以前也很重要。彭罗斯之前的哥德尔，哥德尔所得到的元数学结论，似乎也是在表述数学柏拉图主义的重要性。哥德尔的元数学观念，他依照PM和PA构造的形式系统P，都应该是在践行数学柏拉图主义。而哥德尔在其不可判定性论文中使用的“算术化”方法，似乎同样是在为数学柏拉图主义提供支持。

标题二、“算术化”方法

根据多个文献的记载，哥德尔不相信“进化论”。他的理由很简单，进化论是经验的产物，不是推演的产物。如同笛卡尔（Descartes）还有费马等人，通过将数对偶分配给欧几里得几何平面上的点，把几何学与数学天然地胶合成一门新的数学，解析几何一样，哥德尔则通过把数字指派给基本符号，基本符号系列，基本符号系列的系列，发明了所谓的坐标元数学。那些基本符号，还有基本符号系列，然后再生成的基本符号系列的系列，所有这些用符号构成的东西，就是今天计算机科学中的一个通用术语：字符串（string）。这形成了元数学主题具本质性的部分。笛卡尔通过证明有关数的代数定理，来证明有关点的几何定理；哥德尔则通过把数坐标和字符串连接起来的思考，建立起元数学的一些结论。
坐标几何系统和坐标元数学系统之间应该是有差异的，前者使用数对偶用来表达二维几何，用三元数来表达三维几何，等等，这个几何系统使用的数字，并没有限制到整数范围之内。但坐标元数学却是一维的，它仅仅使用单纯的正整数，也就是说，在哥德尔的论文中仅限于“自然数”，即0、1、2、3等等。哥德尔新奇的元数学方法，是将这些自然数附加到符号，附加到符号系列，附加到符号系列的系列，这些符号及其系列都出现在哥德尔的形式系统P中。
何谓哥德尔的算术化方法呢？看看哥德尔如何为他建立的符号串指派的自然数就可以略有所知了。我先给出他P系统中的各种符号串，总共大约有五类符号串。为方便理解，每一类暂且给出最先出现的几个符号或者符号串。
第一类符号串：常元符号串，
排在最前面的是，否定¬，析取∨，量词所有∀，后继’,所有数字0，0’,0’’…；
第二类符号串：变元符号串，
排在最前面的是，第一类变元x1, y1, z1,…;
自然有第二类第三类，直到无穷类…;
第三类符号串：公式符号串
公式符号串包括公理，包括从公理依据规则推出的公式，哥德尔称作直接后承。
第四类符号串：辅助符号串，左括弧（，右括弧）。
也许还会有第五类符号串，就不在这里例举了，我们直奔主题。
哥德尔的符号串描述很有意思，大概得专辟一节单独解析，容本篇之后再议。当我们把所有这些哥德尔P系统中的符号串做个归纳，归纳出哥德尔给出的7个基本符号串的时候，什么是哥德尔的算术化？好像一下子就从他文本的第42页中若隐若现起来，你好像依稀可见那把通向哥德尔算术化大门的锁匙。
哥德尔正是从这七个基本的符号串，开始了他的算术化进程。
如同哥德尔自己所述，

***系统P的基本符号现在规定为和自然数之间，是一种如下的一一对应：
数字“0”…数字1，析取“∨”…数字7，左括弧“（”…数字11
后继“’”…数字3，量词所有“∀”…数字9 右括弧“）”…数字13
否定“¬”…数字5。

进一步，n类变元被给定为形式为pn的数字（其中p是大于13的素数）。因此，对于每一个基本符号的有限系列（也就是对于每一个公式），就都有一个一一对应的有限自然数系列。***
（哥德尔《论<数学原理>及其相关系统的形式上不可判定命题》英译本第42页）

什么是哥德尔的算术化，现在就有一点结论了，哥德尔的算术化，就是建立自然数数字（包括0在内的正整数）和符号串之间的一一对应。而这个与符号串对应的自然数，就是今天称之为哥德尔数或者哥德尔编码的新奇配对。在《集异壁》那本书中，还有一个对于这个新奇配对数字的中译，称作“哥德尔配数”。

标题三、哥德尔数

现在称作“算术化”的方法，就是哥德尔把自然数一一对应地匹配给字符串。哥德尔所做的工作，就是提供一个配对规则，根据这类规则，不同的数字分配给他P系统中的每个字符串。该规则也可以反向运用，那就是说：在0、1、2、3…等等范围内的数字，哥德尔的规则可以判定，这些数字是否是基本符号的哥德尔数；或者，是否是基本符号系列的哥德尔数；或者，是否是基本符号系列的系列的哥德尔数；或者，这些数字完全就不是哥德尔数（即那些不对应哥德尔数的字符串）。如果有数字是哥德尔数，该规则唯一地指定哪个字符串和这个数相对应。
哥德尔在他的陈述中说，他的规则就是建立“一一对应关系”。我们在基本符号的配数中已经看到，并非所有数字都可以是哥德尔数：一一对应规则建立的对应关系，是特定成员之间的对应关系。这种对应关系中，一类成员是自然数类的子类成员，即那些因为和字符串配对而形成的哥德尔数。另一类成员则是字符串类成员的并，也称为逻辑和。这个字符串类的并，由以下三个互为排斥性的类别来构成，一是基本符号类，二是基本符号系列类，三是基本符号系列的系列类。
哥德尔的原本中，在说明他的算术化方法时，他并未明确提及符号系列的系列的哥德尔数，但是他在定义中使用了这个观念，这些定义构成他定理证明的起点。于是，我们就对哥德尔数有了一个递进式的理解。
什么是哥德尔数呢？这里再引用一段稍微通俗的语言来给人们一点形象的感知，然后我们继续从形象走向抽象，看看他的哥德尔数是如何递进的。

跨出一个纯印符系统，再走入另一个同构的印符系统，这没有多大意思，而离开纯印符领域步入一个与之同构的数论的某个部分则会激发出来未开发的潜力。这就像一个人前半生一直通晓乐谱，但只是用眼睛看而已——然后，忽然有一天，有人告诉他声音和乐谱之间的映射。那将是怎样的一个崭新而又丰富的世界…然后，忽然有一天，有人告诉他事物与串之间的映射。这是怎样的一种启迪！哥德尔配数的发现被人们比作笛卡尔关于平面曲线与二元方程之间同构的那种发现：一旦你见到了，真是难以置信地简单——而一个崭新宽广的世界就这么展开了。
（侯世达著《集异壁》中译本第343页）

好了，我们还是回到哥德尔的原本，来理解他那个奇妙的发现。
哥德尔数是这样的一种数，它用几乎完全同样的方式，从符号系列的系列元素的哥德尔数中构造出来，这就如同符号系列的哥德尔数是从符号的哥德尔数构造出来一样。而这个符号，它又是符号系列的元素。因此，一个k元素系列的哥德尔数，无论这些元素是符号还是符号系列，都是由元素的哥德尔数n1，n2，…nk构成的，如同数字2n1， 3n2， pknk，其素数因子首先为k，再带有1st，2nd，…k-th个素数构成乘积，这些带有序数的素数分别在乘积中出现n1,n2…nk倍次。用这种方式定义的哥德尔数和对应于某个自然数的那个字符串之间的一一对应，是算术基本定理的逻辑后承，即每一个大于I的自然数，I本身不是素数，但这样的自然数有唯一的分解为素数因子的解。
哥德尔的算术化规则确保了，那里的每一字符串类，对应唯一的哥德尔数类，反之亦然。字符串之间的任意关系R则对应于哥德尔数之间的唯一关系R’，也是反之亦然。那就是说，n个哥德尔数之间的n-adic关系R’成立，当且仅当，n个字符串之间的n-adic关系R成立。例如，公式系列s是一个公式f的证明，这是一个元数学的陈述，该陈述为真，当且仅当，在公式s的哥德尔数和公式f的哥德尔数之间的某种算术关系成立，而公式f则要对应于以下关系：是一个‘证明’的关系。
哥德尔使用相同的语言来提及算术的性质，提及这些性质之间的关系，当提及应用于哥德尔数的算术概念时，就将其用斜体打印出那些术语的字符串。在定义系列6-46（哥德尔文本第46-50页）中，他一步一步地定义了：一个算术概念的系列，这些概念，根据他的算术规则，对应于用同样语词表达的元数学概念。而他的定义1-5，则定义了其算术方法中使用的辅助算术概念（第n个质数等）。以下我们再简略陈述他所定义的两个例子，以强化对于哥德尔数的理解。
在46页的定义8中，定义了在两个数字x和y上的算术乘法运算“✴”，哥德尔以这样的方式对x和y进行数字运算：作为运算结果的x*y，是以下字符串的哥德尔数。该字符串是这样获得的，它取哥德尔数为x的那个字符串获得了该字符串的哥德尔数，并把那个哥德尔数为y的字符串紧挨在它前面的那个字符串之后。定义45，则定义了x和y之间的算术关系B，由此，命题x B y就等同于下述命题的合取：一个命题是，x是一符号系列的系列的哥德尔数，这个符号系列的系列用另一个命题的证明模式构成。这另一个命题则是，其哥德尔数为y的符号系列，是其“证明模式”中的最后一个符号系列。也就是说，这个“证明模式”是对置于其中的最后一个公式的证明。
哥德尔文本中的1-46个定义，以及其它章节中的定义，除了纯粹的逻辑概念之外，都属于应用到自然数的算术概念（包括属性，关系，运算），即对于出现在定义中的变元“x”，“y”，“z”，“ n”等，都是用“0”，“1”，“2”，…这些自然数作为替换值。那些逻辑概念受到限制，以便它们仅适用于有限数量的实体。每当一个全称或存在量词出现在定义1-45中的任意一个定义时，子句在量词范围内插入，这些量词保证了仅量化在有限数量的值上。对量词的这种限制，可以确保从某种意义上说，所有被采用的算术概念，除了那个Bew之外，都具有递归性。
在哥德尔的元数学研究中，递归这个概念似乎与哥德尔数一样，是他整个元数学理论的核心。对于这一概念的理解，且留到下一篇博文。