宇宙时空符号世界对应引理—

宇宙时空符号世界对应引理——哥德尔读后之25

信息是这个世界的奇异存在，有一些你会不屑一顾，有一些你会无动于衷。但有些信息却会撞击你的灵魂，一听到就为之一震。你不会在乎它的虚实，也不会在乎它的信度，更不会在乎他背后的什么伦理、什么意义。你会感到一种穿透力，一种在感召你的某种神性一般的东西。
昨天从微信中获得一个视频，一个美国女孩准备独自登录火星，做一次有可能一去不返的单向宇宙航行。这个视频似乎就是这样一类信息，还真可能就是不可信的信息。但就是能够撼动人，它让你觉得这个世界总有人在为未知所憧憬，即使充满魔幻和危险，但还是要憧憬。我是触动了，我似乎是情不自禁地援引了对于这样一种憧憬的一段短短语录：从骨子里敬佩这样一种人生观。
视频消息图片

这个世界，信息真是一种奇异的存在。是世界包含着各种各样的信息？还是世界本来就是一个信息的存在？这真是颇有点哲学意味的话题。所以一位生物化学家如是说：处于生物核心的不是火，不是热气，也不是所谓的‘生命火花’’，而是信息、字词以及指令。我以为这样的观念还可以扩展，不仅仅是生命的核心，全部宇宙的核心大概也是信息。因为宇宙太像一个计算机，它的功能就是处理这个世界的所有信息，宇宙不过是一台巨大的信息处理机器。
这种有关信息的宏大思考，该回到微观的层面了，还是要继续读自己想读的书，自己想获得的数理信息。
读哥德尔，读到他证明其第一不完全性定理的第（11）个符号串的时候，有一些东西卡住了你的进路，难以前行。于是，你自然就去补足有关哥德尔的知识背景，这就有了这篇从宇宙时空到哥德尔符号世界的博文。

一、宇宙时空的分划和哥德尔符号世界的分划

（一）宇宙空间分划

‘’脸书‘’开发元宇宙的信息，让这个世界的更多人知道了，这宇宙空间还有所谓宇宙和元宇宙之分。由对元宇宙的关注，进而牵引出上个世纪90年代的一本科幻小说《雪崩》。随意翻阅这本厚厚的长篇小说，一个新鲜的观念闯入眼帘。由于电脑诞生而出现的虚拟空间，在《雪崩》这部小说里，作者史蒂芬森为这个虚拟空间，另起了一个有点逻辑与数学意味的名字：超元域。这让人明白了，难怪人们在追溯“元宇宙”概念的起源时，要提到这本《雪崩》了。也许，这个超元域，就是“脸书”的元宇宙概念起源吧。
摘录一段《雪崩》所描述的元宇宙，或者如译者翻译为的超元域，也许，我们就知道这个观念是何等意味了。
用行话讲，这个虚拟的空间叫做“超元域”，超元域中有一条繁华的大街：
那是超元域的百老汇，超元域的香榭丽舍大道。它是一条灯火辉煌的主干道，反射在阿弘目镜中，能够被眼睛看到，能够被缩小、被倒转。它并不真正存在；但此时，那里正有数百万人在街上往来穿行。……
这条大街与真实世界唯一的差别就是，它并不真正存在。它只是一份电脑绘图协议，写在一张纸上，放在某个地方。（《雪崩》第30页）
对宇宙空间的这种虚实之分，因为现代信息技术的飞速发展，似乎给予存在更多的含义。以致我们常常会有一种疑惑，是生活在实在世界？还是生活在屏幕空间？这样一类错觉和疑惑。如同古代的庄子在思考，到底是蝴蝶在某个空间中梦见了庄周呢？还是庄周在某个空间中梦见了蝴蝶呢？

（二）哥德尔的符号世界

宇宙有分的思考，似乎很自然地让人联想到另一类不同于虚实之分的世界，这就是哥德尔原著文本涉及到的符号世界。哥德尔的原著文本读到证明过程中的标号（9）与（10）的时候，哥德尔符号世界的分划，似乎不容回避，必须得有点基本认知才行。不然，他那个不完全性定理证明的细节，大概很难厘清。
现在，我们就来观察与理解哥德尔符号世界的分划。
1）自然语言
第一类符号世界，自然是自然语言。哥德尔使用德语做论文，则这篇论文是用德语来表达他的符号观念，实现这些观念的语句连接，话语连接，段落连接，最后当然是构成整篇论文。没有自然语言的符号体系，几乎就不可能出现任何表达思想和观念的论文。英译本把德语翻成了英文，中译本则从英文翻译为中文，这可以看做是从德语到英语，从英语到汉语的映射或者镜像。成熟完善的自然语言，它们大体上的对等同构，使得这样的翻译成为可能。一个完善而且成熟的自然语言，简直就是宇宙世界或者时空的缩影。我们可以用自然语言描述和评论那些属于主体的世界，更不用说去描述和评论那些属于客体的世界了。但有个疑惑好像有点难解，用自然语言的符号来描述另一类符号，这是在描述主体的世界呢？还是在描述客体的世界呢？如果仅就哥德尔本人而言，他那篇开创性的论文，似乎是在用自然语言来描述自身主体所思考出来的观念。但如果哥德尔的论文作为客体而被人探究和研读，这文本中所包含的东西，到底是主观的存在还是客观的存在？这大概是一个仁者见仁，智者见智的问题。
不过，哥德尔文本的这些观念，并非全在自然语言之中。更多的应该是在用自然语言串联拼接起来的另一类符号之中，这大概可以称作哥德尔文本中的第二类符号世界。

2）人工语言：形式系统P
第二类符号世界，应该是哥德尔在原著中给出的形式系统P。这个形式系统P过滤干净了符号的意义，符号被抽象得几乎一无所有，仿佛就是一些纯粹的标识。哥德尔的P系统，给出最基本的常元，给出了标识不同客体的各类变元，给出了公理、定义等等符号串。理解这些符号串的认知主体，可以按照P系统事先规定的一些符号行为规则，对这些空洞符号进行组合操作，由此而构成符号的演算。而符号演算的结果，又可以形成公式、公式序列或者证明序列，进而还会构成公式序列的序列或者证明序列的序列。
这类符号自然也是一种语言，但一定是不同于自然语言的另一种语言，行内术语通常称这类语言，是与自然语言对应的人工语言。它不是自然生成的，而是人工编造的。但编造后不是由普通族群所接受，而是由圈内人士所认同。颇让人惊异的一点是，这类专业语言所生成的系统，虽然不为常人接受，但其中也有普适性的东西。这些东西随着时间的打磨，浮尘消去，真金沉淀，便成为某一门基础性的科学，从而具有潜在的知识共享价值。哥德尔的形式系统P，就是这样一种人工语言，称它为另一种符号世界，似乎有助于人们对它的理解。至少可以这样说，哥德尔的形式系统P是人工语言符号世界中的一个成员。

3）中间路线的元语言符号世界
认知主体接触这个符号世界，他是处于符号世界之中，还是侧身符号世界之外呢？这好像是心灵和符号之间的两种境况。心灵处于符号世界之中，似乎很难琢磨，我们姑且不论。有一首有名的诗句：不识庐山真面目，只缘身在此山中。这诗句大概就说明了，身在其中，或者心在其中的困境。但心灵处于符号世界之外，则给人的感觉是相对容易理解一些。关于那个符号世界的理解或者认知，应该是超越境界的。我们对于符号世界，具体地说，我们对于哥德尔P系统的评论和分析，这应该就是处于符号世界之外的一种状态。这样的一种认知结果，似乎又产生一类符号，不同于自然语言，也不同于哥德尔系统P所在的符号世界。这可以看作是第三个符号世界，一种处于自然语言和人工语言之间的符号世界。用研究哥德尔证明的专家内格尔的说法：

形式演算中的符号滤干了所有的意义而仅仅是空洞的符号。读者可能会疑惑为什么上面的列表里会有含义这一栏。我们是不是自己否定自己呢？答案是，我们正在真正空洞的符号和真正有含义的符号之间走一条微妙的中间路线。（内格尔《哥德尔证明》第57页）

这条中间路线就是用一种元数学的表述方式，来实现哥德尔对于他的形式系统P的评述和分析。而这样一种表述方式所生成的符号世界，因为处理的都是关于符号表达式及其相互间排列关系的元数学命题，由此而使得元数学算术化了。于是我们的符号世界就成了表达元数学算术的元语言，这样一个元语言，既不是纯粹形式化的语言，也不是纯粹意义化的自然语言。这样一种语言，可以说是哥德尔的独创，他用原始递归函数和他著名的对应定理，再加上我们多次讨论过的哥德尔数配置，构筑了一个和他的系统P可以一一对应的元数学符号世界。

二、从形式符号世界到意义与形式混存的符号世界

（一）形式系统P和第一不完全性定理界定

哥德尔的形式系统P，是算术和现代形式逻辑的一种整合。简单地说，它是用逻辑符号加上算术符号来表达我们对于自然数算术的理解，系统P所处理的客体对象仅仅只是自然数。所以，如果我们有一个系统P的公式x<y，这里的变元x和y，代表的不过是任意自然数（包括0）而已。
这样子的一个P系统，按照斯穆里安的分析，表达它的语言，我们且称其语言L，L至少有以下几种集合存在于P中。
1、一个可数集，它的元素称作L的表达式；
2、的一个子集S，它的元素称作L的语句；
3、S的一个子集，它的元素称作L的可证语句；
4、S的一个子集，它的元素称作L的可驳斥语句；
5、一个表达式的集合，这在哥德尔原著文本中称作类符号CLASS SIGN。它的元素称作语言L的谓词，如果非形式地描述这个谓词，任意的谓词其实就是一个自然数集合的名称，表达的是一个自然数的类。
还有一些集合，比如真语句的集合，假语句的集合等等，因为哥德尔的定理证明，似乎还只涉及到可证和可判定的层面。这里罗列几种有关哥德尔第一不完全性定理的几种表示方法，就可以理解为何暂且不将真假这样的谓词，也在形式系统的子集中排列出来。
第一不完全性定理的第一种界定：
满足某个条件的形式系统是不完备的。
第一不完全性定理的第二种界定：
在满足某个条件的形式系统中，存在满足以下两个条件的语句A。
无法证明A成立；
无法证明A成立。
第一不完全性定理的第三种界定：
在满足某个条件的形式系统中，存在满足以下两个条件的语句A。
该形式系统中不存在A的形式证明；
该形式系统中不存在A的形式证明。（参见结城浩《数学女孩》第222-223页）

所以，我们可以暂且搁置真假的谓词子集，且待需要时再来列举评论。

（二）系统P的原始递归函数和对应定理

这个第一不完全性定理的证明，我们在哥德尔的原著文本中，已经走到标号（9）了。我们对哥德尔数的配置，对一个形式系统的一致性，都做过一些评述和讨论。但要有一点底气穿越标号（9）继续前行到证明的结束，似乎这还不够，还需要对于哥德尔的那个著名对应定理做一点专文式地理解才对。而这样一种对对应定理的理解，似乎是从一个形式世界，或者是从一个符号世界穿梭似地往返于另一个符号世界的旅行。哥德尔建构其观念所使用的那个哥德尔数，似乎就是搭建两个符号世界交互穿梭的桥梁和媒介。
那么，那个不同于系统P的符号世界，是个什么样的符号世界呢？这里再来做一点补充性的表述。
哥德尔在其原著英译2000年文本中，有一段离开系统P，进入另一片领土的文字：

在这个地方，我们将做一次短途的旅行(暂时离开系统p)以便构成一项研究：该研究不用形式系统P做任何事情，我们将首先给出以下定义（指原始递归函数的定义）…。（参见张寅生《证明方法和理论》附录第270页）

除了原始递归函数的定义，接之就是4个有关原始递归函数的定理1-4，紧接着，哥德尔定义了46个谓词，其中的1-45个谓词是原始递归的。所有这些，都是哥德尔第一不完全性定理证明的知识背景。跟随着哥德尔继续前行，哥德尔著名的对应定理（也有翻译为可表达定理，可表示性定理或者表现定理的）就出现了。这个定理所在的系统，似乎并不是系统P。令人惊异的是，刚刚提到的各种原始递归函数却可以在系统P内得到定义，但对于系统的解释，似乎只是按照内容而不是按照形式。这个令人惊异的结果，哥德尔原著2000英译本是这样表述的：

每一个原始递归关系是在系统P内可定义（按照内容解释系统P）这样一个事实，可以表述为下列定理（该定理不是对P中公式的解释）。（参见张寅生《证明方法和理论》附录第276页）

哥德尔不是用真假，也不是用可证不可证来判定这个定理，而是指出，这两个表达式是成立的（hold）。
此处再重述一下这个可表达性定理（3）和（4）：

R(x1,x2,…,xn)→provable(subst(r,u1,…,un,number(x1)…number(xn))) (3)
R(x1,x2,…,xn)→provable(not(subst(r,u1,…,un,number(x1)…number(xn)))) (4)

这个可表达性定理，从正反两个方向表明两个符号世界中符号之间的关系。
从肯定的角度看，每一个具有原始递归关系的n元函数R，都必然蕴涵着一个带有n个自由变元的关系r予以相应数字替换后而形成的公式或者公式序列，这个公式或者公式序列是可证的。
从否定的角度看，每一个不具有原始递归关系的n元函数R，都必然蕴涵着一个带有n个自由变元的关系r予以相应数字替换后而形成的否定公式或者否定公式序列，这个否定公式或者否定公式序列是可证的。

由此可见，这个对应定理似乎在表明，哥德尔构造了又一个符号世界。这个符号世界在系统P的基础上，增加了一种关系，在哥德尔那里就是原始递归关系，也称原始递归函数。在其后建立的元数学算术化数论中，这种原始递归关系，其中的一元关系称作“性质”，超出一元的关系，大都称作“原始递归谓词”。于是这种原始递归谓词，和哥德尔数的配置，似乎还要加上一致的条件，就构成了哥德尔的又一个符号世界。这个符号世界，简单地表述，就是元数学算术化的结果。
依据克林的《元数学导论》，元数学的算术化还真不是一件省心的事。它是将形式体系表达成为一般算术，然后再把一般算术再回到常规算术的间接过程（参见克林《元数学导论》第270页）。这好像太为复杂，光是搞清楚一般算术，常规算术观念就够你受的了。我们还是按照内格尔的通俗描述，把元数学的算术化，看作是符号世界的一种镜像或者映射。
那就是说：我们有一个形式系统P中的表达式，对于该表达式，我们又有一个表达该结构性质的元数学命题，即所谓对一个系统P中命题性质的断定，例如‘’命题p可证‘’。那么，因为每一个P中的表达式都对应一个特定的哥德尔数，因而，关于表达式性质及其相互排列关系的元数学命题，就可以理解为以下的命题：那个特定的哥德尔数和构成这个数的不同因子数相互之间算术关系的命题。这样一种理解，元数学便算术化了（参见内格尔《哥德尔证明》第64页）。
于是，哥德尔的这两个有点不同的符号世界，就可能是从有意义的世界到纯粹形式世界的一个穿梭回环。负责这个穿梭回环的媒介，就是哥德尔创建的哥德尔数。通过这个哥德尔数，我们既可以从元数学的算术化世界走进形式世界。自然，我们也可以从纯粹的形式世界走进有含义的元数学算术化世界。但在克林的《元数学导论》中，他把两者都称为形式体系。一个是纯粹形式的“形式语言体系”，另一个是有关实体的“作为一般算术的形式体系”。但就方便理解而言，作为一般算术的形式体系，其中的符号包含着更多的意义。而形式语言体系，则似乎是更为纯粹的形式。

三、对应引理是算术世界和形式世界的一座桥

我们刚才提到，哥德尔数是沟通哥德尔两个符号世界的媒介和桥梁，这个比喻好像还不是十分贴切。至少和哥德尔的对应引理相比，哥德尔数的桥梁作用显然没有对应引理强。对应引理，才是从有意义的算术世界到纯粹形式世界的一座桥。
对应引理把元数学的谓词R与provable性质置于哥德尔形式系统P的公式与公式序列之中，从而使得形式系统P中的公式超越形式系统，又映射到形式系统自身。这样的嵌入，成就了哥德尔第一不完全性定理的证明。在系统P中的A不可证，到系统P中的A不可证，在引入原始递归函数和一致性的定义之后，对应引理担当的就是一座桥梁的作用。
依据对应引理，我们很自然地获得标号（8.1），继续依据对应引理，我们又自然获得标号（9）和标号（10）。从单自由变元哥德尔数的标号（8.1）到双自由变元的标号（9）和（10），我们在一步一步地到达哥德尔证明的核心部位，那就是标号（11）和标号（12）。
依据哥德尔数配置和这个对应引理，我们在哥德尔原著文本中看到系统P开始纯粹形式地来反映自我了。那个令人困惑莫解，神魂迷狂的自指公式p§，随着越来越靠近证明的末端，好像已经在我们的视野之下出现了。它是思维的怪圈？还是认知的循环？还是渗透着魔幻和混沌的超越理性的悖论？这个带有宇宙谜题般的奇异符号，还需要回到哥德尔的文本，还需要我们盯着这些似乎带有生命痕迹的符号，在发呆式的沉思默想中追寻答案。
看来这不是一篇博文就可以解决的问题，还是无需设置上限，把时间消耗在那些沉闷符号的阅读之中吧。