元数学之一瞥——读哥德尔之二

元数学之一瞥——读哥德尔之二

有朋自远方来，不亦乐乎。这个世界到处都充满虚伪与荒唐，所谓的仁人志士台面上的慷慨激昂，豪情万丈，好像就是在印证这种虚伪与荒唐似的。但有朋友在，这个世界就还有一点温馨。我还是和远方来的好友看看风景，聊聊往事，把那些无知与疏狂当作蛛丝一样地抹去吧。大把大把下视这类无聊的东西在，有纯真的友情，也有超越尘世的思考，还有许许多多的慧觉慧智与慧悟，在给人生带来另一番期待和希望。
从依山而建，几重山门的南华寺大门走出来，很快，通向韶关火车站的公交车到了。我们依依惜别，JM夫妇慢步登上汽车，汽车缓缓起步，他们的身影随车渐渐远去。我的眼眶似乎自然地有点湿润，进而视线有点模糊起来。原定两天的南华游，缩为半天，真还有些遗憾，却甘苦各自知，心境亦坦然。碌碌人生，相逢总是短暂，独处才是平常。我该把这份依恋，对于这份友情的依恋藏于心底，回到暂且中断的哥德尔理解上来。

一、哥德尔论文中的用词：“元数学的”（metamathematical）

哥德尔的论文预设了1920年代的一些元数学知识，在他的不可判定性定理的著作中，多次使用了“元数学的”（metamathematical）这个概念。该论文的第一部分，哥德尔就有以下的一段论述：

从形式的角度看，证明，它除了是一个公式（带有某些特指的性质）的有限系列之外，什么都不是。而从元数学的目的来看，证明则天然地就是非物质的，这些天然的非物质，是那些作为基本符号对象的东西，我们用自然数来代表这些非物质的符号。因此，一个公式就是自然数的一个有限系列，一个特指的证明模式就是一个自然数有限系列的有限系列。元数学的概念和命题因此也就成为有关自然数或者它们的系列的概念和命题，并且，由此就至少在系统PM本身的符号中，它们是部分可表达的。
（哥德尔《论数学原理及相关系统形式上不可判定命题》英文版第1节，第37页）

上述哥德尔原文英译本的引文，两次用到“元数学”概念，那么，这个元数学是个什么样的数学呢？本篇将给出简短的一瞥。
继戴德金、皮亚诺、还有弗雷格和皮尔斯等人（Frege and Peano）的工作之后，怀特海（Whitehead）和罗素（Russell）的《数学原理》（1910-13）一书，展示了数学的基本组成部分，包括算术，以及作为从有限数量公理出发的各种演绎系统。在这样的系统中，每个定理都是遵循公理和根据有限的推理规则，以及在前定理而获得证明的。不仅仅《数学原理》如此来构建演绎系统，还有另外一些数学家也遵循这样的思路。如策梅罗-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel)构建的集合论公理化系统，其后，纽易曼（Neumann）对其扩展而生成的演绎系统，它们都包括算术运算，都是从公理出发而构建的。
为了显示在演绎系统中，每个定理都从公理依据推理规则而获得，这就必须考虑那些用于表达公理和系统定理的符号形式，并且，还必须表述那些用规则来表达的推理规则。根据这些规则，一个或多个公式可以通过符号操作来获得另一个公式。这样一种演绎系统的表达，将由一系列形式符号（一种计算）来构成，其中初始公式符号表示演绎系统的公理，每一个公理之外的其他符号公式，即表达定理的那些公式，是从初始公式那里开始，使用一条符号操作的链条来获得的。计算过程中的符号操作链条，不仅对应于演绎系统中的演绎链条，而且也表达了演绎系统中的演绎链条。
数学的演绎系统和逻辑的演绎推理，纯粹通过符号来表述，这称作数学和逻辑理论的形式化。1920年代在数学和逻辑领域的这一重大变革，用著名数学家克林的说法，那是人类长期理智历史的结晶。
这个结晶的一个具体体现，就是创建了摒弃自然语言模糊性的现代符号语言。
该语言中的符号，可以依照形式规则来处理，这就是所谓形式化的第一个内容：

一个数学或者逻辑理论必须演绎地排列，由其中的一些命题，逻辑地导出其它命题，作为初始公式的命题，被称作为公理。而依据公理和推理规则导出的命题，则是定理。导出一个定理的公式系列，那就是对于定理的一个证明。

我们继续前行，来看形式化的第二个内容：

用符号构成的一个形式系统，它舍弃掉符号的所有意义，其符号的内容和实质都在形式化的过程中抽象掉了，剩下的就只有空洞的形式。因此，这样一个形式结构，就不再是一串有意义的命题系统，句子只是字的系列，字只是一些字母的系列。我们仅靠形式来判定怎样的字组合构成句子，构成公理，构成一个证明系列。（参见克林《元数学导论》第63-65页）

数学公理化的思路来自古希腊的《几何原本》，而数学形式化的思路，来自亚里士多德对于古典逻辑的处理。公理化并且形式化的这一思考路径，到了德国数学家希尔伯特那里，则提出了更为重要的东西。德国数学家，被称为数学世界亚历山大的希尔伯特，他用一种彻底严格的现代方式，把数学和逻辑的这两个传统，提升到一个新的阶段，数学基础的研究由此产生了一门新学科，一门把整个形式系统当作研究对象的数学理论。这个新理论，在1904年国际数学家的海德堡大会上，希尔伯特提出的海德堡规划中，首次提出把证明本身作为一门学科的研究对象，这个学科于是称作“证明论”。其后，这种证明论的称呼，就更多地被“元数学”一词所替代。
希尔伯特照

1920年代的元数学家，确立了有关演绎系统的许多重要观念，这里摘取几个表述如下。
何为演绎系统呢？
元数学告诉我们，一个演绎系统是由演算calculus来表达的，构成一个演算的各要素聚合，这就形成了一个演绎系统。通常的演绎系统诸元素，应该是基本符号，初始公式即公理，合式公式的形成规则，推理规则，定义等等。
何为演算呢？
元数学告诉我们，一个演算是一个符号操作过程，在这个过程中，从公理出发依据规则可以推演出另外的公式，从而形成一个符号系列。
何为证明呢？
元数学告诉我们，一个证明就是经过推导而形成的符号系列，该符号系列的最后一个公式，就是这个符号系列所要个证明的东西，也就是，它是一个定理。
而元数学家对于一个演绎系统的整体要求，或者说对于公理的整体要求，那就如希尔伯特所言，它必须是完全的，必须是独立的，还有和哥德尔定理联系更紧密的一个要求，也是一个演绎系统最重要的一个要求，它必须是一致的。
显然，当我们观察系统的完全性，独立性和一致性的时候，似乎与观察前述基本观念有更为明显的距离之感。好像有点超越系统，不在系统之中而在系统之外似的。这大概是元数学和形式数学之间最为本质的一个差异，让我想到了宋朝年间两位几乎同时代大诗人的两首绝妙古诗。由这两首诗，继而联想到《集异壁》一书中的两位画家：艾舍尔和马格利特。

二、元数学理论的诗画想象

宋代的两个大诗人，一个苏轼（1037-1101），一个王安石（1021-1086），他们在游览体验自然景观时，苏轼写下了《题西林壁》。
题西林壁
横看成岭侧成峰，远近高低都不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。

诗图

王安石写下了另一首七绝《登飞来峰》。
登飞来峰
飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升。
不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层。

诗图

苏轼对山峰的观察，是在大山之内看山峰。如同艾舍尔的那幅《自指画》中的艾舍尔一样，主体和所观察的客体处在同一个语言层次之中。在苏轼的心智里，因为山体与人的混一，庐山的真面目无从窥见。这样处在同一层面的艺术作品，在《集异壁》中还有法国画家马格利特的作品，一个烟斗置于画面中间，烟斗下一段文字，中文意思是：“这不是一只烟斗”。我们隐约在这幅怪怪的画中，看到某种“不一致”。苏轼题西林壁一诗所处的意境，如果用语言来描述，也许也会产生同样的“不一致”。
艾舍尔《自画像》

马格利特《咏叹调和歌曲》（1964）这不是一个烟斗

我们再来看王安石《登飞来峰》，主体漂浮在超越客体的最高层次的地方，如同艾舍尔石版画《卡斯特罗瓦尔瓦》（1930）。艾舍尔用他的画表达了他处在画面之外，而王安石则用他的诗，表达了他和他所观察的客体不在一个层次中。这样一个语言层次的区分，使得王安石有“不畏浮云遮望眼”的感叹，他似乎看得更深，看得更远。如同唐代诗人杜甫登泰山的那段著名诗句：
会当凌绝顶，一览众山小。
也是一个超凡脱俗、豁达从容的境界。
艾舍尔的《卡斯特罗瓦尔瓦》（1930）

三、数学命题和元数学命题

在哥德尔的论文中，他在说明其证明思路时，明确表示，他所面对的系统，严格地限定在《数学原理》的PM之中，哥德尔似乎还特别强调，他看这个PM系统，不是从PM的内部去看，而是从PM的外部去看。这个从外部去看一个演绎系统，是所谓元数学的主要特征。
元数学是有关形式系统的数学，借用内格尔对元数学命题的描述风格，以下的几个命题实例，可以让我们对于元数学有一个启蒙式的理解。
1）2 + 3 = 5
2）3 + 7 = 9
以上表达式1）和2），都属于数学命题，它们是由数学符号，或者说算术语言来钩建的，表达了初等算术中的某些情形。但是，如果我们是在对于这些算术命题予以评论或者说明，如下例所示：

3）“2 + 3 = 5”是一个算术公式。

或者，我们对于算术中的符号予以解释说明，如下例所示：

4）如果符号“+”用于算术公式，则这个符号的左右两边就应该都是数字表达式，而不是数字以外的符号。

这里的表达式3）和4）都有算术命题或者算术符号在其中，但它表达的却不是算术的情形，因此，它们都不是算术命题，而属于元数学命题。
还可以举出一些简单的例子来理解基本的元数学，

5）a = a
6）b ≠ b
7）0 ≠ 1

表达式5），6）和7）都属于数学命题，它们都是完全用算术符号构建的。如果用这样的方式来给出一个表达式，如下例：

8）“x”和“y”都是变量。

表达式8）含有数学符号，但这样的表达式也不是数学命题，而是属于元数学的命题。我们在前说过，一个形式系统，它必须是完全的，必须是独立的，还有和哥德尔定理联系更紧密的一个要求，也是一个演绎系统最重要的一个要求，它必须是一致的。
上述提及的系统完全性，独立性和一致性，这些要求都不是形式系统本身的要求，而是元数学对于一个系统的要求，这些特性由此都是元数学的。
元数学的启蒙式理解，大概就到此为止了。哥德尔的证明中渗透着元数学的背景，还有哥德尔对于元数学的独创性贡献，留待下篇再来理会。