hermite、三次样条插值算法调用matlab函数、代码实现

一、Hermite插值
Hermite插值要求有些节点或全部节点的函数值和导数值重合，使得在节点出具有一定的光滑度
满足插值条件的三次Hermite插值多项H3(x)存在且唯一，其基函数计算公式如下：

$\alpha_0(x)=\left(1+2 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2$

$\alpha_1(x)=\left(1+2 \frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2$

$\beta_0(x)=\left(x-x_0\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2$

$\beta_1(x)=\left(x-x_1\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2$ ， $x \in\left[x_0, x_1\right]$

带入H3(x)公式得

$\begin{aligned} H_3(x)=& y_0\left[\left(1+2 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2\right]+y_1\left[\left(1+2 \frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2\right] \\ &+y_0^{\prime}\left[\left(x-x_0\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2\right]+y_1^{\prime}\left[\left(x-x_1\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2\right] \end{aligned}$

在Matlab中使用Hermite插值直接调用公式pchip()函数，返回在插值函数在新的x节点的函数值y。

二、三次样条插值

三次样条插值曲线在连接点处是光滑连续的，一阶和二阶导数是连续的，边界函数的二阶导数也是连续的，单个点不会影响整个插值曲线。

算法如下：

1.计算节点步长

$h_i=x_{i+1}-x_i,(i=0,1, \ldots, n+1)$

2.将路径条件和端点条件带入如下矩阵中计算：

$\left[\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 0 & & & \cdots & & 0 \\ h_0 & 2\left(h_0+h_1\right) & h_1 & 0 & & & & \\ 0 & h_1 & 2\left(h_1+h_2\right) & h_2 & & 0 & & \\ 0 & 0 & h_2 & 2\left(h_2+h_3\right) & & h_3 & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & 0 & h_{n-2} & 2\left(h_{n-2}+h_{n-1}\right) & h_{n-1} \\ 0 & \cdots & & 0 & & 0 & & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{c} m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ \vdots \\ m_n \end{array}\right]=6$ $\left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{y_2-y_1}{h_1}-\frac{y_1-y_0}{h_0} \\ \frac{y_3-y_2}{h_2}-\frac{y_2-y_1}{h_1} \\ \frac{y_4-y_3}{h_3}-\frac{y_3-y_2}{h_2} \\ \vdots \\ \frac{y_n-y_{n-1}}{h_{n-1}}-\frac{y_{n-1}-y_{n-2}}{h_{n-2}} \\ 0 \end{array}\right]$

3.解出矩阵方程得到二次微分值mi

4.计算样条插值系数：

$\begin{gathered} a_i=y_i \\ b_i=\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i}-\frac{h_i}{2} m_i-\frac{h_i}{6}\left(m_{i+1}-m_i\right) \\ c_i=\frac{m_i}{2} \\ d_i=\frac{m_{i+1}-m_i}{6 h_i} \end{gathered}$

5.将系数带入得到在每个子区间 $x_i \leq x \leq x_{i+1}$ 中的样条函数公式:

$f_i(x)=a_i+b_i\left(x-x_i\right)+c_i\left(x-x_i\right)^2+d\left(x-x_i\right)^3$

三种图像绘制对比的代码如下：

x = -pi:pi;           %以1为间隔设置插值节点
y = sin(x);           %计算节点处sin函数值
new_x = -pi:0.1:pi;   %以0.1为间隔设置新节点
p_her = pchip(x,y,new_x); %进行Hermite插值，计算新节点在插值函数下的函数值
p_spline = spline(x,y,new_x);%进行样条插值
%绘制新旧曲线，对比。
p1 = plot(x,y,'or-');
hold on;
p2 = plot(new_x,p_her,'k-');
hold on;
p3 = plot(new_x,p_spline,'g-');
legend([p1,p2,p3],{'nothing','hermite','spline'},'Location','best');

图像如下：

可以看到三次样条插值的结果更贴合我们事先使用的sin函数，比hermite插值的结果更好。

插值样例：根据往年人口数量对人口增长进行预测，给出2009-2018年的人口数量，对2019-2021的人口进行预测。代码如下：

population = [133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639,139538];
year = 2009:2018;
p1 = pchip(year,population,2019:2021);%三次hermite插值
p2 = spline(year,population,2019:2021);%三次样条插值
plot(year,population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-');
legend('样本点','hermite','spline','Location','best');

结果如图：

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