JAVA实现分治法的合并排序及解析

合并排序的思路

本文将讨论用分治法来实现的合并排序。将问题拆分成几个规模较小但类似于原问题的子问题，再递归去求解这些子问题，最后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。
每层递归时都有三个步骤：
分解：分解待排序的n个元素的序列成n/2个元素的两个子序列。
解决：使用归并排序递归得排序这两个子序列。
合并：合并两个已排序的子序列来产生最终答案。
事实上，当左右数组只含有1个元素的时候，这俩数组天然是已排序好的数组，就会向上合并。

时间复杂度分析

当一个算法中含有堆资深的递归调用时，其运行时间可以用递归方程来表示。假设有一个元素（或者叫规模）为n的原问题，我们可以这个原问题分解成a个子问题，每个子问题的元素是原问题的1/b，这些子问题通常可以用常数时间就解决，最后我们再把这些子问题的答案合并。其中，分解的步骤需要时间D(n)，合并时间为C(n)。
分治算法的递归方程皆基于三个步骤。
分解：分解该问题需要D(n)时间。
解决：当n<=c，即当子问题足够小，可以用常数时间解决，记它的时间为θ(1)。否则，需要T(n/b)的时间去解决，而这样的问题一共有a个。
合并：合并问题的时间为C(n)。
以下是递归方程：

那么，我们合并排序算法：
分解：分解仅仅需要算出中间位置，需要常量时间，D(n)=θ(1)。
解决：分成两半，每一部分的元素是总数的一半，所以时间是2T(n/2)。
合并：合并含有n个元素的数组，即merge方法的允许时间，与n线性相关，C(n)=θ(n)。
得：

图解如下：
最多有lgn层，每层需要常量c的时间，最底层一共有n个这样的子数组，可以近似为每一层都需要c*n的时间。由此观之，总的时间是θ(nlgn)。

主方法

主方法就是把数组分成两部分，递归求解，最后合并。
注意：

当数组元素只有1个时不需要再进行分解，开始向上进行合并。

    public int[] mergeSort(int[] ints,int start, int last) throws Exception {//判断起始下标是否小于末尾下标，如果等于，则说明该数组只有1个元素，不需要再分解，可以进行向上合并了。if(start<last) {int mid = (start+last)/2;mergeSort(ints, start,mid);mergeSort(ints,mid+1,last);merge(ints,start,mid,last);}return ints;}public int[] mergeSort(int ints){return mergeSort(ints,1,ints.length);}

合并方法

创建并初始化左右数组。
从头开始比较两数组的元素大小，如果左数组元素小，就把此元素复制到A上，同时A和左数组的下标都加一。如果左数组下标到底了，就直接把右数组的所有元素复制到A上，右数组同理。

注意：

合并的关键是默认左右数组都排序完成。而根据分治法的思想，当左右数组长度为1时，只有1个元素的数组就是已经排好序的数组，就可以向上合并。这个合并好的、排序完成的数组被当做左（右）数组，再向上合并直到所有数组排序完成。

    public void merge(int[] A, int start,int mid, int last) throws Exception{//左数组的长度int n1 = mid-start+1;//右数组的长度int n2 = last-mid;//创建左数组int[] L1 = new int[n1];//创建右数组int[] L2 = new int[n2];//初始化左数组for(int i= 0;i<n1;i++) {L1[i] = A[start+i-1];}//初始化右数组for(int j = 0;j<n2;j++) {L2[j] = A[mid+j];}int i = 0, j = 0;//因为数组下标从0开始，所以k是start-1int k = start-1;try {//左右数组仍有元素没排完，则继续while(i < L1.length && j < L2.length) {//把左右数组中较小的那个元素拎出来放到A中if(L1[i] < L2[j]) {A[k] = L1[i];i++;k++;} else {A[k] = L2[j];j++;k++;}}//如果左边的数组还没比较完，右边的数都已经完了，那么将左边的数抄到大数组中while (i <n1) {A[k] = L1[i];i++;k++;}//如果右边的数组还没比较完，左边的数都已经完了，那么将右边的数抄到大数组中while (j < n2) {A[k] = L2[j];k++;j++;}} catch (Exception e) {System.out.println("i="+i+" j="+j+" k="+k + " n1="+n1+" n2="+n2+ " start=" +start);}}