2.1 随机变量及其分布

2024-06-10 16:48:40

1 随机变量的概念

若此产品的不合格率为ppp，则XXX取各种值的概率可列表如下：

X	0	1	2	3
p	(1−p)3(1-p)^3(1−p)3	3p(1−p)23p(1-p)^23p(1−p)2	3p2(1−p)3p^2(1-p)3p2(1−p)	p3p^3p3

下面给出随机变量的一般定义。

定义2.1.1 定义在样本空间Ω\OmegaΩ上的实值函数X=X(ω)X=X(\omega)X=X(ω)称为随机变量，常用大写字母X,Y,ZX,Y,ZX,Y,Z等表示随机变量，其取值用小写字母x,y,zx,y,zx,y,z等表示。假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b)(a,b)(a,b)，则称其为连续随机变量，其中aaa可以是−∞-\infty−∞，bbb可以是∞\infty∞。

这个定义表明：随机变量XXX是样本点ω\omegaω的一个函数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数，也允许多个样本点对应同一个实数。这个函数的自变量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数。

与微积分中的变量不同，概率论中的随机变量X是一种“随机取值的变量且伴随一个分布”。以离散随机变量为例子，我们不仅要知道X可能取那些值，而且还要知道它取这些值的概率各是多少，这就需要分布的概念，有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志。

2 随机变量的分布函数

随机变量XXX是样本点ω\omegaω的一个实值函数，若B是某些实数组成的集合，即B⊂RB\subset RB⊂R，R表示实数集，则{X∈B}\{X\in B\}{X∈B}表示如下的随机事件：

{ω:X(ω)∈B}⊂Ω\{\omega:X(\omega)\in B\}\subset \Omega{ω:X(ω)∈B}⊂Ω

定义 2.1.2 设X是一个随机变量，对任意实数x，称：

F(x)=P(X≤x)(2.1.1)F(x)=P(X\le x)\quad\quad(2.1.1)F(x)=P(X≤x)(2.1.1)

为随机变量X的分布函数。且称X服从F(x)F(x)F(x)，记为X∼F(x)X\sim F(x)X∼F(x)。有时也可用Fx(x)F_x(x)Fx(x)以表明是X的分布函数（把X写成F的下标）。

定理2.1.1 任一分布函数F(x)F(x)F(x)都具有如下三条基本性质：

待补充 77

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