(PAT)BasiclLevel_c++ #1003 我要通过！（演绎法）

这道题是PAT乙级#1003题
这道题困惑了我好久，也让我真正认识到这种OJ题其实更大程度上考验的是数学能力，相比之下，代码能力反而只是一种实现的工具
先来看一下题目

题目描述

“答案正确”是自动判题系统给出的最令人欢喜的回复。本题属于 PAT 的“答案正确”大派送 —— 只要读入的字符串满足下列条件，系统就输出“答案正确”，否则输出“答案错误”。

得到“答案正确”的条件是：

字符串中必须仅有 P、 A、 T这三种字符，不可以包含其它字符；
任意形如 xPATx 的字符串都可以获得“答案正确”，其中 x 或者是空字符串，或者是仅由字母 A 组成的字符串；
如果 aPbTc 是正确的，那么 aPbATca 也是正确的，其中 a、 b、 c 均或者是空字符串，或者是仅由字母 A 组成的字符串。

现在就请你为 PAT 写一个自动裁判程序，判定哪些字符串是可以获得“答案正确”的。

输入格式：

每个测试输入包含 1 个测试用例。第 1 行给出一个正整数 n (<10)，是需要检测的字符串个数。接下来每个字符串占一行，字符串长度不超过 100，且不包含空格。

输出格式：

每个字符串的检测结果占一行，如果该字符串可以获得“答案正确”，则输出 YES，否则输出 NO。

输入样例：

8
PAT
PAAT
AAPATAA
AAPAATAAAA
xPATx
PT
Whatever
APAAATAA

输出样例：

YES
YES
YES
YES
NO
NO
NO
NO

解题历程：

可以看出来这其实就是让我们判断一个字符串是否满足要求的题目，一开始我并没有在意，所以上来就写了一个循环去读取这个字符串，然后调用一个方法去根据给出的正确调节来检验这个字符串，但是在写检验方法的时候我却遇到了问题。
需要的情况似乎太多了
但是我依然没有醒悟，觉得毕竟有三个检验条件，还是用代数的检验形式，情况必然很多，所以我硬着头皮写下去，好不容易写完了，一提交，全错了！
这似乎有点问题
我看着自己写的将近一百行的检验方法，陷入了沉思。
似乎不太对，但是又说不上来，总感觉，不应该这么写，盯着看了好久，又找不出规律，就这样扔在这放了两三天，依然没有头绪，没办法了，索性去看看别人的解法吧。

他人解法:

如果 aPbTc 是正确的，那么 aPbATca 也是正确的，其中 a, b, c 均或者是空字符串，或者是仅由字母 A 组成的字符串。
拿上面的那几个正确的举例子，那么正确的有这些：
PAT —— 对于 aPbTc 来说ac是空，b是A。所以 PAAT 是正确的。同理PAAAAAT中间加多少个A都是正确哒~
APATA —— 对于aPbTc来说，abc都是A。所以 APAATAA 是正确的。再类推一下，那么 APAAATAAA 是正确的。
AAPATAA —— 对于aPbTc来说，a和c是AA，b是A。所以AAPAATAAAA是正确的，再类推一下，AAPAAATAAAAAA 是正确的~
所以说规律就是，可以在P和T中间加A并且在T后面加A，要求必须是，中间加上一个A，末尾就得加上几倍的(P前面A的那个字符串)。换句话说就是，中间的A的个数如果是3，那么末尾的A的个数就得是开头A的个数的3倍。很巧，当中间A为一个的时候，末尾和开头A的个数必须相等正好是第二条的要求~~~
所以一句话总结字符串的要求：只能有一个P一个T，中间末尾和开头可以随便插入A。但是必须满足开头的A的个数 * 中间的A的个数 = 结尾的A的个数，而且P和T之间不能没有A～

说了不少，似乎说明白了什么规律，而且最后也给出了正确的检验方法。
但我总觉得，这像是小学的找规律题，或者说，没有给出严格的数学思路，只是列出了各种可能性后从中归纳出了规律，而不是通过推理演绎所得到的结果。
但是网上找到的所有题解都是引用了这个思路，我觉得这并不好，我需要一个更加严格，更具有逻辑性的思路
当然我这个一开始都做不出来的菜逼自然不能批评别人的思路，但是我的确看的云里雾里，只是知道了前后字符串有规律而已，所以我决定，沿着这个思路尝试着找到证明的方法

演绎法

可能归功于我喜欢看福尔摩斯，所以对演绎法也有点了解，这给了我很大的帮助，接下来就是严格的演绎证明：
首先对于第一条，没什么可说的，就是要求字符串中只能有'P','A','T'三种字符。

对于第二条，要求格式为xPATx其中x可以是空字符串或者仅由字母A构成的字符串，
也就是x可以是0或任意个A，而且PAT前后均是x,即前后的字符串是相同的

然后我们再来看第三条，这才是这个题目的大头部分
如果aPbTc是正确的，那么aPbATca也是正确的，a,b,c均或者是空字符串，或者仅由字母A构成的字符串。

我们细细的品一下，开始第一句

如果 aPbTc 是正确的

很明显，他的正确性并不确定，这就说明，这种格式下的字符串要通过前两条的检验
而后一句

那么 aPbATca 也是正确的

这句话说明，这种格式下的字符串的正确性取决于上一个格式的正确性
至此我们可以看出来，第三条检验条件是完全依附于前两条的。
那么我们来看是如何依附的
对于aPbTc，如果他是正确，那么那就要满足xPATx的形式，首先我们可以很明显的看出来a,c要求相同且为空或者仅由A构成，b要求为A，此时a,c的要求基本可以忽略，但对于b来说

如果b取空，则构成aPTc的形式，即使a,c满足要求，整个字符串也不符合第二条的形式
如果b取两个及以上的A构成的字符串，同理也不满足第二条

这时可能就有人问了，前面的解法里不是说中间可以有多个A吗？别急，接着看

我们假设所有的a,c均满足要求，毕竟他们的要求很简单，而且他们也不是重点
经过上述的步骤我们发现，只有在b取A的时候才能满足aPbTc是正确的
即：

b = “A” ：aPbTc正确

第一个式子的正确要求找到了，我们接着看，下一个式子为

aPbATca

这个格式正确性是取决于前一个格式的，现在我们找到了前一个格式的正确要求，那么就可以推出这个格式的正确性要求

b =“A” : aPbATca正确（不要忘了我们已经假设a，c均正确了）

此时我们可以发现，这个格式同样还是要求b = "A"而已
但是因为中间填了一个固定的A，所以P，T中间就有了两个A
同时仍要满足a,c正确，这就意味着这个格式下，后面的A的个数变成了前面的A个数的两倍，很明显嘛，前面是a,而后面是ca而 a= c；这都是我们前面证明出来的，不满足这些要求是不可能正确的。
看起来似乎第三个要求也找到了？
别急，我们刚刚得出的结论是
aPAATca是正确的
这里我把b的位置换成了A，因为在刚才的证明中就发现了b一定是A（b=“A”）
我们再看一下第三条

如果 aPbTc 是正确的，那么 aPbATca 也是正确的

此时
aPAATca是正确的=>aPbTc是正确的，b = "AA",a = a ,c = ca
有没有发现什么，第三条可以基于自身二次成立！！！
为了更直观一点我们换成下面的写法

a₁Pb₁Tc₁是正确的，则a₁Pb₁ATc₁a₁是正确的
首次证明时，我们直到一定要满足b₁="A"的形式
此时a₁Pb₁ATc₁a₁所对应的a₁PAATc₁a₁正确，即:
a₁PAATc₁a₁ 是正确 => a₂Pb₂Tc₂是正确的，b₂=b₁+“A” a₂=a₁,c₂=c₁a₁
此时中间有了两个A，a不变，b变成了两个A，c变成了之前的两倍！

再来一次？
对于a₂Pb₂Tc₂正确，其所对应的a₂Pb₂ATc₂a₂，即a₂PAAATc₂a₂也是正确的
因此
a₂PAAATc₂a₂正确 => a₃Pb₃Tc₃正确，b₃=“AAA” a₃=a₂=a₁ ,c₃=c₂a₂
而c₂=c₁a₁，所以c₃ = c₁a₁a₂，a始终不变
现在b₃ 变成了三个A，c₃是原来的三倍

很明显之后都是这样循环自证，每次循环都会让中间的A多一个，后面的A多一倍，前面的A不变，而最开始后面的A的基数是和前面的A的个数相同，因此就变成了下面这样
第N次循环时，后面的A的个数是前面的A的个数的N倍，同时中间的A的个数是N
看起来就像是后面的A的个数是前面的A的个数乘以中间的A的个数，但其实上面这个才是真正的规律

如果中间A的个数和循环次数N不是线性关系，那规律性解法就完全失效了，但是我的演绎法依然可以找到正确的思路，毕竟找规律终归是在找巧合，而不是严格的逻辑推理。

现在我们就得出来正确的格式：

仅由P,A,T三个字母构成
满足P,T中间必须有A，且T之后的A的个数是P之前的A的个数乘以中间的A的个数

啥，你说我这个不还是跟别人的一样？你不废话，这道题难道会有两种判断格式嘛？

举个例子，如果我这样改一下

如果 aPbTc 是正确的，那么 aPb²Tca 也是正确的，其中 a、 b、 c 均或者是空字符串，或者是仅由字母 A 组成的字符串，其中b²表示A的个数变为原本的平方
你可劲找规律去吧，看你啥时候能想到下面这个规律

后面的的A的个数等于前面的A的个数乘以中间的A的个数的平方根

十七张牌你能秒我？？

代码实现

此处引用了柳婼大神的代码，我只是加了一点注释
代码来源点这里

#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
int main() {int n, p = 0, t = 0;string s;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> s;map<char, int> m;for (int j = 0; j < s.size(); j++) {m[s[j]]++;//记录对应字符的个数if (s[j] == 'P') p = j;//记录P字符出现位置if (s[j] == 'T') t = j;//记录T字符出现位置}/*要求1. 必须有 P T2. A 的个数不能为零3. 不能出现其他字符，即只能有三种字符4. P T 之间必须有A5. 前面的A乘以中间的A等于后面的A*/if (m['P'] == 1 && m['A'] != 0 && m['T'] == 1 && m.size() == 3 && t - p != 1 && p * (t - p - 1) == s.length() - t - 1)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}return 0;
}