#常用极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1lim⁡n→∞(1+1n)n=e;lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\\\ \\ \lim_{n\to \infty}(1+\frac 1 n)^n=e\space;\space\lim_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x=e x→0limxsinx=1 n→∞lim(1+n1)n=e ; x→∞lim(1+x1)x=e

当x→0:sin⁡x→x;tan⁡x→x;arctan⁡x→x;arcsin⁡x→x;1−cos⁡x→x22;1+xn→1nx;ex−1→x;ln⁡(x+1)→x;(1+x)α→αx;ln⁡(x+1+x2)→xlog⁡a(1+x)→xln⁡a;ax−1→xln⁡ax−sin⁡x→16x3;tan⁡x−x→13x3arcsin⁡x−x→16x3;x−arctan⁡x→13x3tan⁡x−sin⁡x→12x31−1−x2→12x21+xa−1→12xa当x\to 0:\\\ \\ \sin x\to x\space\space;\space\space\tan x\to x\space\space;\\\ \\\arctan x\to x\space\space;\space\space\arcsin x\to x\space\space;\\\ \\ 1-\cos x\to \frac{x^2}2\space\space;\space\space\sqrt[n]{1+x}\to \frac 1 n x\space\space;\\\ \\ e^x-1\to x\space\space;\space\space\ln(x+1)\to x\space\space;\\\ \\ (1+x)^\alpha\to \alpha x\space\space;\space\space\ln (x+\sqrt{1+x^2})\to x\\\ \\ \log_a(1+x)\to\frac x{\ln a}\space\space;\space\space a^x-1\to x\ln a\\\ \\ x-\sin x\to\frac 1 6x^3 \space\space;\space\space \tan x-x\to \frac 1 3 x^3\\\ \\ \arcsin x -x\to \frac 1 6 x^3 \space\space;\space\space x-\arctan x\to\frac 1 3 x^3\\\ \\ \tan x-\sin x\to \frac 1 2 x^3\\\ \\1-\sqrt{1-x^2}\to\frac 1 2 x^2\\\ \\\sqrt{1+x^a}-1\to\frac 1 2 x^a 当x→0: sinx→x ; tanx→x ; arctanx→x ; arcsinx→x ; 1−cosx→2x2 ; n1+x→n1x ; ex−1→x ; ln(x+1)→x ; (1+x)α→αx ; ln(x+1+x2)→x loga(1+x)→lnax ; ax−1→xlna x−sinx→61x3 ; tanx−x→31x3 arcsinx−x→61x3 ; x−arctanx→31x3 tanx−sinx→21x3 1−1−x2→21x2 1+xa−1→21xa

lim⁡x→0sin⁡1x1x=0\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac 1 x}{\frac 1 x}=0 x→0limx1sinx1=0

#常用级数

11−z=∑n=0∞zn=1+z+z2⋯+zn+⋯11+z=∑n=0∞(−1)nzn=1−z+z2⋯+(−1)nzn+⋯ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)nxn+1n+1+⋯ex=1+x+x22+⋯+xnn!+⋯sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)n+1x2n−1(2n−1)!+⋯cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)n+1x2n−2(2n−2)!+⋯(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+⋯1+x2=1+12x2−18x4+o(x4)\frac 1 {1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1+z+z^2\cdots+z^n+\cdots\\\ \\ \frac 1 {1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n=1-z+z^2\cdots+(-1)^nz^n+\cdots\\\ \\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} +\cdots\\\ \\ e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\\\ \\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots\\\ \\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots\\\ \\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\cdots\\\ \\ \sqrt{1+x^2}=1+\frac 1 2x^2-\frac 1 8x^4+o(x^4) 1−z1=n=0∑∞zn=1+z+z2⋯+zn+⋯ 1+z1=n=0∑∞(−1)nzn=1−z+z2⋯+(−1)nzn+⋯ ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯+(−1)nn+1xn+1+⋯ ex=1+x+2x2+⋯+n!xn+⋯ sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)n+1(2n−1)!x2n−1+⋯ cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)n+1(2n−2)!x2n−2+⋯ (1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+⋯ 1+x2=1+21x2−81x4+o(x4)

#常用求导

(arcsin⁡x)′=11−x2(arccos⁡x)′=−11−x2(arctan⁡x)′=11+x2(arccotx)′=−11+x2(tan⁡x)′=1cos⁡2x=sec⁡2x(cot⁡x)′=−1sin⁡2x=−csc⁡2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x=tan⁡xcos⁡x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x=−1sin⁡xtan⁡x(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+nπ2)(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+nπ2)(xn)(n)=n!(xn)(n+1)=0(1x+a)(n)=(−1)nn!(x+a)n+1(ln⁡(x+b))(n)=(−1)n−1(n−1)!(x+b)n(\arcsin x)'=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arccos x )' =-\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arctan x )'=\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (arccot x)' =-\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (\tan x)'=\frac 1 {\cos^2x}=\sec^2x\\\ \\ (\cot x)' =-\frac 1 {\sin^2 x}=-\csc^2 x\\\ \\ (\sec x)'=\sec x\tan x=\frac{\tan x}{\cos x}\\\ \\ (\csc x)'=-\csc x \cot x=-\frac 1{\sin x \tan x}\\\ \\ (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (x^n)^{(n)}=n! \\ (x^n)^{(n+1)}=0 \\\ \\ (\frac 1 {x+a})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}\\\ \\ (\ln(x+b))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+b)^{n}}\\\ \\ (arcsinx)′=1−x21 (arccosx)′=−1−x21 (arctanx)′=1+x21 (arccotx)′=−1+x21 (tanx)′=cos2x1=sec2x (cotx)′=−sin2x1=−csc2x (secx)′=secxtanx=cosxtanx (cscx)′=−cscxcotx=−sinxtanx1 (cosx)(n)=cos(x+2nπ) (sinx)(n)=sin(x+2nπ) (xn)(n)=n!(xn)(n+1)=0 (x+a1)(n)=(x+a)n+1(−1)nn! (ln(x+b))(n)=(x+b)n(−1)n−1(n−1)!

[f(x)⋅g(x)](n)=f(n)g+Cn1f(n−1)g+⋯+Cnkf(n−k)g(k)+⋯+fg(n)[f(x)\cdot g(x)]^{(n)}=f^{(n)}g+C_n^1f^{(n-1)}g+\cdots+C_n^kf^{(n-k)}g^{(k)}+\cdots+fg^{(n)} [f(x)⋅g(x)](n)=f(n)g+Cn1f(n−1)g+⋯+Cnkf(n−k)g(k)+⋯+fg(n)

#求导的注意事项

对于函数，其输入的变量之间必须相互独立对于函数，其输入的变量之间必须相互独立对于函数，其输入的变量之间必须相互独立

因此，对于以坐标为输入变量的多元函数，如(ρ,ϕ,z),(r,θ,ϕ)其任意两个微商∂ρ∂ϕ=0,因此，对于以坐标为输入变量的多元函数，如\\ (\rho,\phi,z),(r,\theta,\phi)\\ 其任意两个微商\frac{\partial\rho}{\partial\phi}=0, 因此，对于以坐标为输入变量的多元函数，如(ρ,ϕ,z),(r,θ,ϕ)其任意两个微商∂ϕ∂ρ=0,

全微分：

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【高等数学】常用极限、求导、级数

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