[CSA35G][XSY3318]Counting Quests （DP）

XSY3318
CSA35G
对于一个询问区间的集合SSS，求出每一个数被哪些区间覆盖了，记为SiS_iSi。
要能保证猜出选中数，当且仅当每个数的SiS_iSi互不相同。
考虑求出不满足要求的集合SSS的个数。

首先可以观察得到SiS_iSi的一个性质：若a<b<c<da<b<c<da<b<c<d且Sa=Sc,Sb=SdS_a=S_c,S_b=S_dSa=Sc,Sb=Sd，则必有Sa=Sb=Sc=SdS_a=S_b=S_c=S_dSa=Sb=Sc=Sd。

证明：因为Sa=ScS_a=S_cSa=Sc，所以如果一个区间覆盖了aaa，一定也覆盖了ccc，那么这个区间一定也覆盖了bbb，又因为Sb=SdS_b=S_dSb=Sd，所以该区间一定也覆盖了ddd。同理可证覆盖了bbb或ccc或ddd的区间一定也覆盖了其它三个数。

我们给每个数一个编号aia_iai，满足当且仅当SiS_iSi相同的数aia_iai相同。

由刚才的性质我们知道，不同的aaa值的排布只可能是以下情况：
–x--xx–xy—y–yy–（x,yx,yx,y出现范围呈并列关系）
–x--y-yy-y-x-xx-----（x,yx,yx,y出现范围呈包含与被包含关系）
不可能是这种情况：
–xx-y-x-x-yyy-------（x,yx,yx,y出现范围呈相交关系）

所以可以把构造形如 x–xy–yz–z 的序列aaa 分解成构造形如 x—x 的序列aaa，构造形如 y–y 的序列aaa，构造形如 z–z 的序列aaa 三个子问题。

并且在构造形如 x—x 的序列aaa时， — 不管怎么填，最后得到的方案都一定猜不出选中数。
y–y ， z–z 同理。

形式化地，每次把aaa中的第一个数xxx放入bbb的末尾，然后在aaa中删掉最后一个xxx前的所有数（包括最后一个xxx）。
例如a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]
此时b=[1,2,5,10,6,9]b=[1,2,5,10,6,9]b=[1,2,5,10,6,9]
可以发现，只包含被删掉数的区间可有可无，但包含未被删掉数的区间一定要使未被删掉数的aaa值互不相同，即这些包含未被删掉数的区间对应着一个长度为∣b∣|b|∣b∣的序列的答案。
例如序列bbb中一个包含1,2的区间，对应着序列aaa中一个包含1,2,3,2,4,2的区间。

那么就可以DP了：
记fif_ifi为iii个数的答案，gi,jg_{i,j}gi,j为iii个数，处理之后之剩jjj个数的答案。则有：

fi=2Ci+12−∑j=1i−1fjgi,jf_i=2^{C_{i+1}^{2}}-\sum_{j=1}^{i-1}f_jg_{i,j}fi=2Ci+12−j=1∑i−1fjgi,j

gi,j=gi−1,j−1+∑k=0gi−k−2,j−12Ck+12g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\sum_{k=0}g_{i-k-2,j-1}2^{C_{k+1}^{2}}gi,j=gi−1,j−1+k=0∑gi−k−2,j−12Ck+12

时间复杂度：O(n3)O(n^3)O(n3)或O(n2logn)O(n^2logn)O(n2logn)

还可以用多项式优化，但我不会。

[CSA35G][XSY3318]Counting Quests （DP）相关推荐

求三角形最大面积（DP）
求三角形最大面积(DP) 在OJ上奇迹般WA了:WA:70. Why? #include <iostream> #include <string.h> using namesp ...
LeetCode 编辑距离 II（DP）
1. 题目给你两个单词 s 和 t,请你计算出将 s 转换成 t 所使用的最少操作数. 你可以对一个单词进行如下两种操作: 删除一个字符替换一个字符注意: 不允许插入操作题目保证有解示例: ...
LeetCode 1220. 统计元音字母序列的数目（DP）
文章目录 1. 题目 2. 解题 1. 题目给你一个整数 n,请你帮忙统计一下我们可以按下述规则形成多少个长度为 n 的字符串: - 字符串中的每个字符都应当是小写元音字母('a', 'e', 'i ...
LeetCode 265. 粉刷房子 II（DP）
文章目录 1. 题目 2. 解题 1. 题目假如有一排房子,共 n 个,每个房子可以被粉刷成 k 种颜色中的一种,你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同. 当然,因为市场上不同颜色油 ...
LeetCode 256. 粉刷房子（DP）
文章目录 1. 题目 2. 解题 1. 题目假如有一排房子,共 n 个,每个房子可以被粉刷成红色.蓝色或者绿色这三种颜色中的一种,你需要粉刷所有的房子并且使其与相邻的两个房子颜色不能相同. 当然,因 ...
LeetCode 1223. 掷骰子模拟（DP）
1. 题目有一个骰子模拟器会每次投掷的时候生成一个 1 到 6 的随机数. 不过我们在使用它时有个约束,就是使得投掷骰子时,连续掷出数字 i 的次数不能超过 rollMax[i](i 从 1 开始 ...
LeetCode 1155. 掷骰子的N种方法（DP）
1. 题目这里有 d 个一样的骰子,每个骰子上都有 f 个面,分别标号为 1, 2, -, f. 我们约定:掷骰子的得到总点数为各骰子面朝上的数字的总和. 如果需要掷出的总点数为 target,请你 ...
LeetCode 1139. 最大的以 1 为边界的正方形（DP）
1. 题目给你一个由若干 0 和 1 组成的二维网格 grid,请你找出边界全部由 1 组成的最大正方形子网格,并返回该子网格中的元素数量.如果不存在,则返回 0. 示例 1: 输入:grid ...
程序员面试金典 - 面试题 17.23. 最大黑方阵（DP）
1. 题目给定一个方阵,其中每个单元(像素)非黑即白. 设计一个算法,找出 4 条边皆为黑色像素的最大子方阵. 返回一个数组 [r, c, size] ,其中 r, c 分别代表子方阵左上角的行号和 ...

[CSA35G][XSY3318]Counting Quests （DP）

[CSA35G][XSY3318]Counting Quests （DP）相关推荐

最新文章

热门文章