实验报告(LCS算法和背包算法)

实验报告

课程名称:《算法分析与设计》
实验日期: 2021年 5月 10日至 2021 年 5 月 16 日
学生姓名: 甘世伟
所在班级: 计科195
学号: 2019212212053
实验名称: LCS算法和背包算法
实验地点: 勤园13-218
同组人员: 无
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问题
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。
比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA。
解析

LCS:问题

例子推导
（3）
X=<A,C,D,B,D,C,A,B>
Y= <B,D,A,B,C,B,C>
Z=<D,B,C,B>
X.B≠Y.C,Z.B≠Y.C;
=>
X=<A,C,D,B,D,C,A,B>
Y= <B,D,A,B,C,B>
Z=<D,B,C,B>是新X和Y的最长公共子序列
（1）
X=<A,C,D,B,D,C,A,B>
Y= <B,D,A,B,C,B>
Z=<D,B,C,B>
X.B=Y.B,Z.B=Y.B;
=>
X=<A,C,D,B,D,C,A>
Y= <B,D,A,B,C>
Z=<D,B,C>是新X和Y的最长公共子序列
（2）
X=<A,C,D,B,D,C,A>
Y= <B,D,A,B,C>
Z=<D,B,C>
X.A=Y.C,Z.C≠X.A;
=>
X=<A,C,D,B,D,C>
Y= <B,D,A,B,C>
Z=<D,B,C>是新X和Y的最长公共子序列

分析
首先要分清楚：
子串：表示连续的一串字符。
子序列：表示不连续的一串字符。
S1的最后一个元素与s2的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：
LCS(s1n-1，s2m-1);
如果s1n != s2m，那么产生了两个子问题：
LCS(s1n-1，s2m) 和 LCS(s1n，s2m-1)。
解出上面两个子问题，得到的公共子序列后，比较长短，长的就是 LCS（s1,s2）。
对子问题重复以上步骤，就可以得到答案。
这张图对应了三种情况。C[i,j]记录的是子序列长度。

背包问题：

设计

LCS:问题

void LCS(char* x, char* y, int m, int n, int a[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]) {int i, j;for (i = 0; i <= m; i++) a[i][0] = 0;for (j = 1; j <= n; j++)    b[0][j] = 0;for (i = 1; i <= m; i++) {for (j = 1; j <= n; j++) {if (x[i - 1] == y[j - 1]) {a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 1;}else if (a[i - 1][j] >= a[i][j - 1]) {a[i][j] = a[i - 1][j];b[i][j] = 3;}else {a[i][j] = a[i][j - 1];b[i][j] = 2;}}}
}void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char* x, int i, int j) {if (i == 0 || j == 0)   return;if (b[i][j] == 1) {PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);printf("%c", x[i - 1]);}else if (b[i][j] == 3)PrintLCS(b, x, i - 1, j);elsePrintLCS(b, x, i, j - 1);
}

背包问题：

void Knapsack(int v[], int w[], int c, int n, int m[][10])
{int jMax = min(w[n] - 1, c);for (int j = 0; j <= jMax; j++){m[n][j] = 0;}for (int j = w[n]; j <= c; j++){m[n][j] = v[n];}for (int i = n - 1; i > 1; i--){jMax = min(w[i] - 1, c);for (int j = 0; j <= jMax; j++){m[i][j] = m[i + 1][j];}for (int j = w[i]; j <= c; j++) {m[i][j] = max(m[i + 1][j], m[i + 1][j - w[i]] + v[i]);}}m[1][c] = m[2][c];if (c >= w[1]){m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c - w[1]] + v[1]);}
}
void Traceback(int m[][10], int w[], int c, int n, int x[])
{for (int i = 1; i < n; i++){if (m[i][c] == m[i + 1][c]){x[i] = 0;}else{x[i] = 1;c -= w[i];}}x[n] = (m[n][c]) ? 1 : 0;
}

分析
在动态规划的方法下，只需要线性的时间：O(mn)的时间复杂度。因为只需要比较mn次，选出最优解。
背包问题的时间复杂度为O(n^2)
源码

https://github.com/fxgn123/AlgorithmDesign/blob/fxgn123-patch-lab9/main.cpp
https://github.com/fxgn123/AlgorithmDesign/blob/fxgn123-patch-lab9-1/main.cpp