Day18--拉氏变换与控制系统模型

MATLAB是一个很强大的软件，在自动控制领域也是使用非常广泛，本系列博文将基于控制系统仿真进行，参考书籍《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》，该系列博文与笔者的自动控制理论(考研篇)互为补充，详细理论知识点请各位移步自动控制理论(考研篇)系列博客。

18.拉氏变换与控制系统模型

18.1 介绍

时域函数f(t)f(t)f(t)的拉氏变换定义：F(s)=∫0∞f(t)e−stdtF(s)=\int^\infty_0f(t)e^{-st}dtF(s)=∫0∞f(t)e−stdt
用符号表示为F(s)=L[f(t)]F(s)=L[f(t)]F(s)=L[f(t)]，sss称为拉氏算子，单位为1/时间，即频率；同时也表示复频域变量；
拉氏反变换定义：
f(t)=12πj∫σ−jωσ+jωF(s)estdsf(t)=\frac{1}{2\pi{j}}\int^{\sigma+j\omega}_{\sigma-j\omega}F(s)e^{st}ds f(t)=2πj1∫σ−jωσ+jωF(s)estds

符号表示：f(t)=L−1[F(s)]f(t)=L^{-1}[F(s)]f(t)=L−1[F(s)]；

18.2 拉氏变换的基本定理

定理	原函数f(t)f(t)f(t)	象函数F(s)F(s)F(s)
线性定理	af1(t)+bf2(t)，a,b为实数af_1(t)+bf_2(t)，a,b为实数af1(t)+bf2(t)，a,b为实数	aF1(s)+bF2(s)aF_1(s)+bF_2(s)aF1(s)+bF2(s)
复平移定理	e±atf(t)e^{±at}f(t)e±atf(t)	F(s±a)F(s±a)F(s±a)
复实平移定理	f(t−T)f(t-T)f(t−T)	e−TsF(s)(T≥0)e^{-Ts}F(s)(T≥0)e−TsF(s)(T≥0)
标尺定理	f(ta)f(\frac{t}{a})f(at)	aF(as)aF(as)aF(as)
微分定理	ddtf(t)\frac{d}{dt}f(t)dtdf(t)	sF(s)−f(0)sF(s)-f(0)sF(s)−f(0)
微分定理	dndtnf(t)\frac{d^n}{dt^n}f(t)dtndnf(t)	snF(s)−∑r=1ndr−1dtr−1f(0)sn−rs^nF(s)-\sum^n_{r=1}\frac{d^{r-1}}{dt^{r-1}}f(0)s^{n-r}snF(s)−r=1∑ndtr−1dr−1f(0)sn−r
积分定理	∫0tf(t)\int^t_0f(t)∫0tf(t)	1sF(s)\frac{1}{s}F(s)s1F(s)
卷积定理	∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ\int^t_0f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ	F1(s)F2(s)F_1(s)F_2(s)F1(s)F2(s)
初值定理	lim⁡t→0[f(t)]=lim⁡s→∞[sF(s)]=f(0)\lim_{t→0}[f(t)]=\lim_{s→\infty}[sF(s)]=f(0)t→0lim[f(t)]=s→∞lim[sF(s)]=f(0)
终值定理	lim⁡t→∞[f(t)]=lim⁡s→∞[sF(s)]=f(∞)\lim_{t→\infty}[f(t)]=\lim_{s→\infty}[sF(s)]=f(\infty)t→∞lim[f(t)]=s→∞lim[sF(s)]=f(∞)

18.3 常用函数的拉氏变换

f(t)f(t)f(t)	F(s)F(s)F(s)	f(t)f(t)f(t)	F(s)F(s)F(s)
δ(t)单位脉冲\delta(t)单位脉冲δ(t)单位脉冲	111	ttt	1s2\frac{1}{s^2}s21
u(t)单位阶跃u(t)单位阶跃u(t)单位阶跃	1s\frac{1}{s}s1	tnt^ntn	n!sn+1\frac{n!}{s^{n+1}}sn+1n!
eate^{at}eat	1(s−a)\frac{1}{(s-a)}(s−a)1	tneatt^ne^{at}tneat	n!(s+a)n+1\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}(s+a)n+1n!
cos⁡(ωt)\cos(\omega{t})cos(ωt)	ss2+ω2\frac{s}{s^2+\omega^2}s2+ω2s	sin⁡(ωt)\sin(\omega{t})sin(ωt)	ωs2+ω2\frac{\omega}{s^2+\omega^2}s2+ω2ω
e−atcos⁡(ωt)e^{-at}\cos(\omega{t})e−atcos(ωt)	s+a(s+a)2+ω2\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}(s+a)2+ω2s+a	e−atsin⁡(ωt)e^{-at}\sin(\omega{t})e−atsin(ωt)	ω(s+a)2+ω2\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}(s+a)2+ω2ω
1b−a(e−at−e−bt)\frac{1}{b-a}(e^{-at}-e^{-bt})b−a1(e−at−e−bt)	1(s+a)(s+b)\frac{1}{(s+a)(s+b)}(s+a)(s+b)1	1b−a(be−bt−ae−at)\frac{1}{b-a}(be^{-bt}-ae^{-at})b−a1(be−bt−ae−at)	s(s+a)(s+b)\frac{s}{(s+a)(s+b)}(s+a)(s+b)s

18.4 拉氏变换实战

实战：求e−atsin⁡(bt)、t2e−t、1−e−2t+e−te^{-at}\sin(bt)、t^2e^{-t}、1-e^{-2t}+e^{-t}e−atsin(bt)、t2e−t、1−e−2t+e−t的拉氏变换；
解：

% laplace.m文件
% 定义符号变量
syms t s;
syms a b positive;% 定义表达式
D1 = exp(-a*t)*sin(b*t);
D2 = t^2*exp(-t);
D3 = 1-exp(-2*t)+exp(-t);% 进行拉氏变换
MS1 = laplace(D1,t,s)
MS2 = laplace(D2,t,s)
MS3 = laplace(D3,t,s)% 结果输出：MS1 =b/((a + s)^2 + b^2)
MS2 =2/(s + 1)^3

注：本篇旨在简单介绍如何使用MATLAB对时域表达式进行拉氏变换，更多关于拉氏变换和拉氏反变换基础请读者移步到自动控制原理(考研篇)学习或自行查阅关于拉氏变换和反变换的知识。