拉氏变换 & 传递函数

1 拉氏变换

以RLC无源网络为例:

设回路电流为i(t)i(t), 输入电压为ui(t)u_i(t), 输出电压为uo(t)u_o(t), 由基尔霍夫定理可知:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪Ldi(t)dt+1C∫i(t)dt+Ri(t)=ui(t)uo(t)=1C∫i(t)dt

\begin{cases} L{di(t) \over dt} + {1 \over C} {\int i(t)dt} + Ri(t) = u_i(t)\\\\ u_o(t) = {1 \over C} \int i(t)dt \end{cases}
所以, 输入输出微分关系为:

Ld2uo(t)dt2+RCduo(t)dt+uo(t)=ui(t)

L{d^2u_o(t) \over dt^2} + {RC{du_o(t) \over dt}} + u_o(t) = u_i(t)

元件电压的数学模型如下:
1. 电感L

uL=Ldi(t)dt

u_L=L{di(t) \over dt}
2. 电容C

uC=1C∫i(t)dt

u_C={1 \over C} {\int i(t)dt}
3. 电阻R

uR=Ri(t)

u_R=Ri(t)

对已知的网络微分方程进行拉氏变换:

Ld2uo(t)dt2+RCduo(t)dt+uo(t)=ui(t)

L{d^2u_o(t) \over dt^2} + {RC{du_o(t) \over dt}} + u_o(t) = u_i(t)
令 Ui(s)=L[ui(t)]U_i(s) =\mathscr L[u_i(t)] , Uo(s)=L[uo(t)]U_o(s) =\mathscr L[u_o(t)] , 且

L[du0(t)dt]=sU0(s)−u0(0)

\mathscr L[{du_0(t) \over dt }] = sU_0(s)-u_0(0)

L[d2u0(t)dt2]=s2U0(s)−su0(0)−u˙0(0)

\mathscr L[{d^2u_0(t) \over dt^2 }] = s^2U_0(s)-su_0(0)-\dot u_0(0)
在零初始条件下:
u0(0)=0,u˙0(0)=0u_0(0)=0, \dot u_0(0) = 0
所以RLC网络的拉氏变换为:

Ui(s)=Uo(s)(LCs2+RCs+1)

U_i(s) = {U_o(s) (LCs^2+RCs+1)}

2 传递函数

2.1 传递函数定义

线性定常系统、零初始条件下系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换的比为传递函数.
所以由上可知RLC无源网络的传递函数为:

G(s)=U0(s)Ui(s)=1LCs2+RCs+1

G(s)= {U_0(s) \over U_i(s)} = {1 \over LCs^2+RCs+1}

2.2 传递函数的性质

传递函数是复变量ss的有理真分数函数,具有复变函数的所有性质;m≤nm \le n,且所有系数为实数.
传递函数是一种系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式, 它只取决于系统或者原件的结构和参数,与输入输出的形式无关,引入不反映系统内部任何信息.
传递函数与微分方程具有相通性.
由传递函数(在零初始条件下), 能很直观的得到系统的微分方程. 例如:

G(s)=C(s)R(s)=b1s+b2sa0s2+a1s+a2

G(s) = {C(s) \over R(s)} = {{b_1s + b_2s} \over a_0s^2+a_1s+a_2}
我们可得到ss代数方程(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)(a_0s^2+a_1s+a_2)C(s)=(b_1s+b_2)R(s), 在零初始条件下,用微分运算符ddtd\over dt置换ss便得到响应的微分方程:

a0d2dt2c(t)+a1ddtc(t)+a2c(t)=b1ddtr(t)+b2r(t)

a_0{d^2 \over dt^2}c(t) + a_1{d \over dt}c(t)+a_2c(t)= b_1{d \over dt}r(t)+b_2r(t)
反之, 用用ss置换微分运算符ddtd \over dt, 则得到传递函数!!!
- 传递函数G(s)G(s)的拉氏逆变换是脉冲响应g(t)g(t).
- 传递函数在零初始条件下定义, 其含义:
  - 输入信号在t=0t=0后才加入系统: 当在t=0−t=0^-时, 输入量其各阶导数均为0;
  - 输入信号作用于系统之前, 系统处于稳定工作状态: 当t=0−t=0^-时, 输出量及其各阶导数均为0.

总结: 传递函数能表征控制系统的动态性能, 并可以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应, 由拉氏变换的卷积定理, 有:

c(t)=L−1[C(s)]=L−1[G(s)R(s)]=∫t0r(τ)g(t−τ)dτ

c(t) =\mathscr L^{-1}[ C(s) ]=\mathscr L^{-1}[G(s)R(s)]=\int_0^tr(\tau)g(t- \tau)d\tau

=∫t0r(t−τ)g(τ)dτ

=\int_0^tr(t-\tau)g(\tau)d\tau
式中g(t)=L−1[G(s)]是系统的脉冲响应g(t)=\mathscr L^{-1}[G(s)]是系统的脉冲响应.