题目描述

描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入

第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数

样例输入

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出

提示

【数据规模】对于30%的数据，L <= 10000；对于全部的数据，L <= 10^9。

题解

step 1理解题意

在做这道题之前，一定要理解好题意，有一个需要特别注意注意的地方：
青蛙不是一定要跳到石头上[嗯…这一点坑了我好久]而是指青蛙尽量不踩石头的情况下还要跳到多少个石头上[语文渣求原谅]。

step 2状态转移方程

这是一个比较简单方程式。
首先设f[i]为在i点上的最少踩石子数则在前面(i-s)到(i-t)的点都可以改变i点的值,因此我们可以取f[i-s]-f[i-t]之中的最小值，另外如果有石头就加上1，如果没有就不加值，这里我们直接用flag[i]表示该点有无石头(有则为1，无则为0)。
因此我们可以写出状态转移方程式:f[i]=min(f[i−j]+flag[i]|s<=j<=t)f[i]=min(f[i−j]+flag[i]|s<=j<=t)f[i]=\min(f[i-j]+flag[i]|s

step 3路径压缩

实际上，这题还没完呢…如果我们定义一个f[10^9]的数组，这肯定是会爆内存的——所以…[我就放弃了这道题][额，可能吗]..因此我们需要使用一种方法，使得这里采用一种最合适的方法——路径压缩(其实还有其他更(bu)优(kao)秀(pu)方法的)，目的是要找到两石同相隔较长时直接缩短的方法。[前方高能,请数学学科恐惧症患者尽快撤离!!]:
假设每次走p或者p+1步.我们知道gcd(p,p+1)gcd(p,p+1)\gcd(p,p+1)=1.
由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：
px+(p+1)y=gcd(p,p+1)px+(p+1)y=gcd(p,p+1)px+(p+1)y=\gcd(p,p+1)是有整数解的，即可得：px+(p+1)y=spx+(p+1)y=spx+(p+1)y=s是一定有整数解的。
设px+(p+1)y=spx+(p+1)y=spx+(p+1)y=s的解为：x=x0+(p+1)t,y=y0−ptx=x0+(p+1)t,y=y0−ptx=x0+(p+1)t,y=y0-pt。令0<=x<=p0<=x<=p0(通过增减t个p+1来实现)，s>p∗(p+1)−1s>p∗(p+1)−1s>p*(p+1)-1,
则有：y=s−pxp+1>=s−p2p+1>p∗(p+1)−1−pxp+1>=0y=s−pxp+1>=s−p2p+1>p∗(p+1)−1−pxp+1>=0y=\frac{s-px}{p+1}>=\frac{s-p^2}{p+1}>\frac{p*(p+1)-1-px}{p+1}>=0
即表示，当s>=p∗(p+1)s>=p∗(p+1)s>=p*(p+1)时，px+(p+1)y=spx+(p+1)y=spx+(p+1)y=s有两个非负整数解，每次走p步或者p+1p+1p+1步，p∗(p+1)p∗(p+1)p*(p+1)之后的地方均能够到达。
如果两个石子之间的距离大于p∗(p+1)p∗(p+1)p*(p+1)，那么就可以直接将他们之间的距离更改为p∗(p+1)p∗(p+1)p*(p+1)。
综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离>t∗(t−1)t∗(t−1)t*(t-1)，则将他们的距离更改为t∗(t−1)t∗(t−1)t*(t-1)。
因为t<=10t<=10t，因此我们可以直接将大于10*9的距离直接化为90.
但是要注意，对于s=ts=ts=t这种特殊情况，这种方法是不成立的应为在这种情况下，每次是不能够走p+1步的，因此需要另外特殊判断。
方程如下:
f[i]=f[i−1]+(imods==0)f[i]=f[i−1]+(imods==0)f[i]=f[i-1]+(i \mod s ==0)

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
using namespace std;
int f[10005],far[10005],a[10005],flag[10005],p,s,t,n;
int main()
{ scanf("%d",&p); scanf("%d%d%d",&s,&t,&n); if(s==t) //特殊情况判断{ int cont=0,qaq; for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&qaq),cont+=((qaq%s)==0); printf("%d\n",cont);return 0; } for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); sort(a+1,a+n+1);a[0]=0;f[0]=0; far[n+1]=min(p-a[n],100);p=0; //计算终点与最后一个点的距离for(int i=1;i<=n;i++)far[i]=min(a[i]-a[i-1],90),p+=far[i],flag[p]=1; //缩短路径，存储缩短后的终点距离并标记石头位置p+=far[n+1]; for(int i=1;i<=p+9;i++) { f[i]=INT_MAX-1; for(int j=s;j<=t;j++)if(i>=j)f[i]=min(f[i],f[i-j]+flag[i]); } int minn=INT_MAX-1; for(int i=p;i<=p+9;i++) //因为青蛙可以跳出边界且t<=10因此再终点后p-p+9中取最小值minn=min(minn,f[i]); printf("%d",minn);
}

附

在此送给[数学学科恐惧症患者]一个知识点，或许看看再实际操作一下就会了呢^_^
https://baike.baidu.com/item/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95/1053275?fr=aladdin

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