数学建模讲座之三——利用Matlab求解线性规划问题(linprog函数)

利用Matlab求解线性规划问题 线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解： min f(x) s.t .(约束条件)： Ax<=b (等式约束条件)： Aeqx=beq lb<=x<=ub linprog函数的调用格式如下： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…) [x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 其中： x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。 Options的参数描述：Display显示水平。 选择’off’ 不显示输出；选择’Iter’显示每一 步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。 [x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。 [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分： exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。 output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。 lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性： lambda.lower-lambda的下界； lambda.upper-lambda的上界； lambda.ineqlin-lambda的线性不等式； lambda.eqlin-lambda的线性等式。 下面通过具体的例子来说明： 例如：某农场I、II、III等耕地的面积分别为100 hm2、300 hm2和200 hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表5.1.4所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，(1)如何制订种植计划，才能使总产量最大？(2)如何制订种植计划，才能使总产值最大？ 表1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg / hm2) 首先根据题意建立线性规划模型(决策变量设置如表2所示，表中xij 表示第种作物在第j等级的耕地上的种植面积。)： 约束方程如下： 耕地面积约束： 最低收获量约束： 非负约束： (1)追求总产量最大，目标函数为： (2)追求总产值最大，目标函数为： 根据求解函数linprog中的参数含义，列出系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束条件等。 这些参数中没有的设为空。譬如， (1)当追求总产量最大时，只要将参数 f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000]; A=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000; 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000; -11000.0000 0.0000 0.0000 -95